KÓŁECZKO Z POT _{}EGI PUNKTU WZGL _{}EDEM OKR _{}EGU - ZADANKA

1.1. Niech o_{1}, o_{2} b_{}ed _{}a pewnymi okr_{}egami niewspółśrodkowymi. Udowodnić, że zbiór wszystkich takich punktów A, że pot_{}ega A wzgl_{}edem o_{1} jest równa pot_{}edze punktu A wzgl_{}edem o_{2} jest prost _{}a (tak _{}a prost _{}a nazywamy osi _{}a pot_{}egow _{}a okr_{}egów o_{1} i o_{2}).

1.2. Dane s _{}a 3 okr_{}egi parami niewspółśrodkowe: o_{1}, o_{2} i o_{3}. Wykazać, że osie pot_{}egowe par okr_{}egów: o_{1} i o_{2}, o_{2} i o_{3}, o_{1} i o_{3}, przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie lub s _{}a równoległe.

2.1. Punkty E i F należ _{}a odpowiednio do boków AC i AB trójk _{}ata ABC, odcinki BE i CF przecinaj _{}a si_{}e w punkcie M i ME · MB = MC · MF. Wykazać, że AF · AB = AE · AC.

2.2. Przek _{}atna BD równoległoboku ABCD jest dłuższa od przek _{}atnej AC. Okr _{}ag opisany na trójk _{}acie ABC przecina BD w punkcie E. Wykazać, że okr _{}ag opisany na trójk _{}acie AED jest styczny do prostej AC.

2.3. Okr _{}ag o jest styczny w punkcie D do prostej k. Ci_{}eciwa AB tego okr_{}egu jest równoległa do prostej k, punkt C należy do prostej k, a odcinki AC i BC przecinaj _{}a okr _{}ag o w punktach odpowiednio E i F (różnych od ”A i B). Wykazać, że prosta EF przechodzi przez środek odcinka CD.

2.4. Sześciok _{}at wypukły ABCDEF spełnia warunki: AB = BC, CD = DE, EF = F A. Wykazać, że proste zawieraj _{}ace wysokości trójk _{}atów BCD, DEF, F AB, poprowadzone odpowiednio z wierzchołków C, E, A, przcinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

2.5. Punkty A, B, C, D leża na prostej w tej właśnie kolejności. Przez punkty A i B prowadzimy okr _{}ag o_{1}, przez punkty C i D prowadzimy okr _{}ag o_{2}. Okr_{}egi te przecinaj _{}a si_{}e w punktach E i F. Wykazać, że przy ustalonych A, B, C, D, dla wszystkich par okr_{}egów o_{1} i o_{2}, proste EF przechodz _{}a przez pewien ustalony punkt.