Potęga punktu

19.11.2008

1. Punkt P należy do wnętrza trójk _{}ata ABC. Punkty D i E należ _{}a odpowiednio do boków AB i AC. Wiadomo, że ∠ABP = ∠DP A oraz ∠ACP = ∠EP A. Wykazać, że na czworok _{}acie EDBC można opisać okr _{}ag.

2. Okr _{}ag ω jest styczny do prostej k w punkcie D. Cięciwa AB tego okręgu jest równoległa do prostej k, a punkt C należy do k i nie pokrywa się z D. Proste AC i BC przecinaj _{}a okr _{}ag ω po raz drugi odpowiednio w punktach E i F. Wykazać, że prosta EF przechodzi przez środek CD.

3. Okręgi ω_{1} i ω_{2} s _{}a styczne zewnętrznie. Prosta k jest styczna do ω_{1} w A i do ω_{2} w B, przy czym A ≠ B. Odcinek AC jest średnic _{}a ω_{1}, a prosta CE jest styczna do ω_{2} w punkcie E. Pokazać, że CE = AC.

4. Sześciok _{}at wypukły ABCDEF spełnia warunki: AB = BC, CD = DE, EF = F A. Wykazać, że proste zawieraj _{}ace wysokości trójk _{}atów BCD, DEF i F AB, poprowadzone odpowiednio z wierzchołków C, E i A, przecinaj _{}a się w jednym punkcie.

5. Dany jest odcinek AB. Na symetralnej AB wybieramy punkt X. Okr _{}ag ω_{1} jest wpisany w ABX, natomiast okr _{}ag ω_{2} – dopisany do trójk _{}ata ABX (styczny do odcinka AB). Udowodnić, że iloczyn długości promieni okręgów ω_{1} i ω_{2} nie zależy od wyboru punktu X.

6. Czworok _{}at wypukły ABCD, w którym AB ≠ CD, jest wpisany w okr _{}ag. Czworok _{}aty AKDL i CMBN s _{}a rombami o bokach długości a. Dowieść, że punkty K, L, M, N leż _{}a na jednym okręgu.