Kółko z pot_{}egi punktu

1.1. Niech o_{1}, o_{2} b_{}ed _{}a okr_{}egami o środkach odpowiednio O_{1}, O_{2}. Pokazać, że zbiór punktów o równej pot_{}edze wzgl_{}edem obu okr_{}egów jest prost _{}a. Jak wygl _{}ada ta prosta, gdy okr_{}egi przecinaj _{}a si_{}e?

1.2. Okr_{}egi o_{1}, o_{2}, o_{3} przecinaj _{}a si_{}e odpowiednio w punktach: o_{1}, o_{2} w A, B; o_{2}, o3 w C, D; o_{3}, o_{1} w E i F. Wykazać, że proste AB, CD, EF przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

1.3. Na podstawie zadania 1.2. pokazać, że w dowolnym trójk _{}acie wysokości przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

2.1. Trzy różne punkty A,B,C leż _{}a na okr_{}egu o. Proste styczne do okręgu o w punktach A i B przecinaj _{}a się w punkcie P. Prosta styczna do okr_{}egu o w punkcie C przecina prost _{}a AB w punkcie Q. Udowodnić, że P Q^{2} = P B^{2} + QC^{2}.

2.2. Niech o_{1}, o_{2} b_{}ed _{}a okr_{}egami rozł _{}acznymi. Proste k, l, m, n s _{}a ich wspólnymi stycznymi. Niech X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4} b_{}ed _{}a środkami odcinków pomi_{}edzy punktami styczności k, l, m, n z okr_{}egami. Pokazać, że punkty te leż _{}a na jednej prostej.

2.3. Okręgi o_{1}, o_{2} przecinaj _{}a si_{}e w punktach A i B. Prosta k jest styczna do obu okr_{}egów w punktach odpowiednio C i D. Niech M b_{}edzie środkiem odcinka CD. Niech E b_{}edzie punktem symetrycznym do B wzgl_{}edem M. Niech o_{3}, o_{4} b_{}ed _{}a okr_{}egami maj _{}acymi za średnice odpowiednio odcinki AE i CD, przecinaj _{}ace si_{}e w punktach X_{1}, X_{2}. Udowodnić, że X_{1}X_{2} jest średnic _{}a okr_{}egu o_{4}.

2.4 Wewn _{}atrz trójk _{}ata ABC dany jest punkt P. Na półprostej P C obrano taki punkt C′ na zewn _{}atrz ABC, by punkty A′ i B′ tzn. przeci_{}ecia odpowiednio okr_{}egów opisanych na ACC′ i BCC′ z półprostymi P A i P B różne od A i B leżały również na zewn _{}atrz ABC. Udowodnić, że wówczas na czworok _{}acie ABB′A′ da si_{}e opisać okr _{}ag.

2.5. Niech o_{1}, o_{2} b_{}ed _{}a okr_{}egami o środkach odpowiednio O_{1}, O_{2} i promieniach r_{1}, r_{2}, przecinaj _{}acymi si_{}e. Niech A, B, C, D b_{}ed _{}a punktami przeci_{}ecia prostej O_{1}O_{2} z okr_{}egami i leż _{}a w tej właśnie kolejności na omawianej prostej. Ponadto spełniona jest równość: O_{1}B · O_{1}D = r_{1}^{2}. Wykazać, że:

a) O_{2}A · O_{2}C = r_{2}^{2}

b) okr_{}egi o_{1}, o_{2} s _{}a prostopadłe (tzn. ich styczne w punktach przeci_{}ecia s _{}a prostopadłe)

1.3 Okr _{}ag wpisany w trójk _{}at ABC jest styczny do boków AC i BC odpowiednio w punktach D i E. Punkt F jest rzutem prostok _{}atnym punktu A na prosta BC. Punkt K jest symetryczny do punktu F wzgl_{}edem prostej DE. Dowieść, ze punkt K leży na dwusiecznej k _{}ata BAC.