Pot_{}ega punktu

1. Dany jest odcinek AB. Obieramy dowolny punkt X na symetralnej AB, wpisujemy okr _{}ag w trójk _{}at ABX oraz dopisujemy doń okr _{}ag styczny do odcinka AB. Okr_{}egi te maj _{}a promienie r i R. Pokazać, że iloczyn rR jest stały.

2. Na prostej k dany jest odcinek AB oraz punkt X na nim. Rysujemy dowolny okr _{}ag ω styczny do k w X i obieramy na nim punkty P i R, takie, że ∠AP B = ∠ARB. Pokazać, że przeci_{}ecie prostej P R z prost _{}a k jest niezależne od wyboru okr_{}egów i punktów P i R na nich.

3. Trzy różne punkty A, B, C leż _{}a na okr_{}egu o. Proste styczne do okr_{}egu o w punktach A i B przecinaj _{}a si_{}e w punkcie P. Prosta styczna do okr_{}egu o w punkcie C przecina prost _{}a AB w punkcie Q. Udowodnić, że P Q^{2} = P B^{2} + QC^{2}.

4. Niech o_{1}, o_{2} b_{}ed _{}a okr_{}egami rozł _{}acznymi. Proste k, l, m, n s _{}a ich wspólnymi stycznymi. Niech X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4} b_{}ed _{}a środkami odcinków pomi_{}edzy punktami styczności k, l, m, n z okr_{}egami. Pokazać, że punkty te leż _{}a na jednej prostej.

5. Okr _{}ag ω styczny jest do prostej k w punkcie A. Punkty B i C leż _{}a na ω oraz BC∥k. Punkt P jest dowolnym punktem prostej k różnym od A. Prosta BP przecina ponownie ω w K, zaś prosta CP w L. Pokazać, że prosta KL połowi odcinek AP.

6. Dany jest sześciok _{}at wypukły ABCDEF w którym AB = BC, CD = DE, EF = F A. Pokazać, że przedłużenia wysokości trójk _{}atów F AB,BCD,DEF poprowadzone odpowiednio z punktów A, C, E przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

7. Okr_{}egi o_{1} i o_{2} przecinaj _{}a si_{}e w punktach X, Y, zaś ich wspólna styczna to k. Okr _{}ag o_{3} jest styczny zewn_{}etrznie do o_{1},o_{2} i leży w całości po tej samej stronie k co o_{1} i o_{2}. Prosta l różna od k jest styczna do o_{3} w Z i równoległa do k, zaś o_{1}, o_{2}, o_{3} leż _{}a w całości po tej samej jej stronie. Pokazać, że punkty X, Y, Z s _{}a współliniowe.

8. Okr_{}egi ω_{1} i ω_{2} przecinaj _{}a si_{}e w punktach A i B zaś M jest środkiem odcinka AB. Prosta k jest styczna do ω_{1} w P i do ω_{2} w R, zaś N jest środkiem odcinka P R. Pokazać, że zachodzi 2MN P R.