Podobieństwo i przystawanie trójk _{}atów

22.10.2008

1. Niech E będzie punktem na boku kwadratu ABCD, a O – środkiem okręgu opisanego na AEC. Pokazać, że ∠OAE = 45^{∘}.

2. Na zewn _{}atrz boków AC i BC trójk _{}ata ABC dobudowano prostok _{}aty ACP Q i BCRS o równych polach. Niech M będzie środkiem odcinka P R, zaś O - środkiem okręgu opisanego na ABC. Pokazać, że punkty M, C, O s _{}a współliniowe.

3. Dany jest trójk _{}at ostrok _{}atny ABC. Punkty P i U leż _{}a na boku BC, punkty Q i S - na boku CA, a punkty R i T - na boku AB, przy czym

P R⊥BC, QP ⊥CA, RQ⊥AB, US⊥BC, ST ⊥CA, T U⊥AB

Pokazać, że trójk _{}aty P QR i ST U s _{}a przystaj _{}ace.

4. Punkty P i Q leż _{}a odpowiednio na bokach BC i CD kwadratu ABCD, przy czym ∠P AQ = 45^{∘}. Dowieść, że BP + DQ = P Q.

5. Niech ABCD będzie takim czworok _{}atem wypukłym, że ∠DAB = ∠ABC oraz symetralne odcinków AD i BC przecinaj _{}a się na boku AB. Udowodnij, że AC = BD.

6. Dany jest czworok _{}at ABCD. Dobudowujemy na zewn _{}atrz trójk _{}aty równoboczne ABM i CDL oraz wewn _{}atrz - trójk _{}aty równoboczne DAK i BCN. Dowieść, że czworok _{}at KLMN jest równoległobokiem.

7. Niech AD będzie wysokości _{}a trójk _{}ata prostok _{}atnego ABC opuszczon _{}a na przeciwprostok _{}atn _{}a BC. Wiadomo, że p i q to długości obwodów trójk _{}atów ACD i ABD. Obliczyć długość obwodu trójk _{}ata ABC.