Pi_{}eciogodzinówka przed drugim etapem - wersja 2

Dzień 1

1. Znaleźć wszystkie ci _{}agi liczb rzeczywistych a_{1}, a_{2}, …a_{2006}, spełniaj _{}ace układ nierówności:

\{ 2\sqrt{a_{1} − 0} a_{2} − 0 ; 2\sqrt{a_{2} − 1} a_{3} − 1 ; 2\sqrt{a_{3} − 2} a_{4} − 2 ; ⋮ ; 2\sqrt{a_{2005} − 2004} a_{2006} − 2004 ; 2\sqrt{a_{2006} − 2005} a_{1} + 1

2. Na płaszczyźnie dany jest trójk _{}at ABC. Okr _{}ag γ jest styczny do boków AB i AC odpowiednio w punktach D i E oraz przecina bok BC w punktach K i L, przy czym K leży bliżej B niż C. Pokazać, że jeśli P jest punktem przeci_{}ecia przek _{}atnych czworok _{}ata DKLE, to prosta AP jest prostopadła do prostej BC wtedy i tylko wtedy, gdy odcinek KL jest średnic _{}a okr_{}egu γ.

3. W ksi_{}estwie Hofmańskim istnieje n miast poł _{}aczonych dwukierunkowymi drogami, przy czym z każdego miasta wychodz _{}a co najmniej 3 drogi. Pokazać, że ksi _{}aże Hofman jest w stanie wyjechać z pewnego miasta i wrócić do niego nie przejeżdżaj _{}ac żadnej z kraw_{}edzi wi_{}ecej niż raz i zwiedzaj _{}ac parzyst _{}a liczb_{}e miast (ł _{}acznie z pocz _{}atkowym).