Pi_{}eciogodzinówka przed drugim etapem - wersja 1

Dzień 2

4. Mały Kubuś nie lubi matematyki i jest dr_{}eczony przez swojego korepetytora. Zaj_{}ecia z korepetytorem wygl _{}adaj _{}a nast_{}epuj _{}aco. Najpierw korepetytor pisze na tablicy równanie kwadratowe x^{2} + p_{1}x + q_{1} = 0, a Kubuś musi znaleźć jego rozwi _{}azania p_{2} i q_{2}. Jeśli nie istniej _{}a lub przynajmniej jedno nie jest całkowite, to Kubuś może iść do domu, w przeciwnym razie korepetytor zapisuje na tablicy równanie x^{2} + p_{2}x + q_{2} = 0 (dobieraj _{}ac dowoln _{}a kolejność rozwi _{}azań) i wszystko zaczyna si_{}e od pocz _{}atku (jeśli równanie ma tylko jedno rozwi _{}azanie traktujemy je jako dwa takie same). Znaleźć wszystkie pocz _{}atkowe pary p_{1}, q_{1} dla których korepetytor może dr_{}eczyć Kubusia w nieskończoność.

5. W trójk _{}acie ABC punkt O jest środkiem okr_{}egu opisanego, zaś M środkiem ci_{}eżkości, przy czym proste OM i AM s _{}a prostopadłe. Prosta AM przecina okr _{}ag opisany na trójk _{}acie ABC w A′, zaś proste A′B i A′C przecinaj _{}a odpowiednio AC i AB w D i E. Pokazać, że środek okr_{}egu opisanego na trójk _{}acie ADE leży na okr_{}egu opisanym na trójk _{}acie ABC.

6. W rz_{}edzie ustawiono 2005 kamieni, każdy z nich w kolorze białym lub czarnym, a nast_{}epnie dla każdego policzono sum_{}e liczby pionków białych stoj _{}acych na lewo od niego i czarnych stoj _{}acych na prawo. Okazało si_{}e, że tylko jeden z wyników powtórzył si_{}e nieparzyst _{}a liczb_{}e razy. Jaki mógł to być wynik?