Pi_{}eciogodzinówka przed drugim etapem - wersja 1

Dzień 1

1. Statkiem nazywamy spójn _{}a figur_{}e złożon _{}a z pól szachownicy poł _{}aczonych wspólnymi bokami. Pokazać, że jeśli liczba możliwych statków złożonych z n pól szachownicy 10 × 10 jest nieparzysta, to n jest podzielne przez 4.

2. Dany jest okr _{}ag γ oraz prosta l z nim rozł _{}aczna. Odcinek AB jest średnic _{}a okr_{}egu γ przy czym prosta AB jest prostopadła do l zaś B leży bliżej l niż A. Punkt C jest dowolnym punktem okr_{}egu γ różnym od A i B. Prosta AC przecina prost _{}a l w punkcie D zaś E jest punktem styczności stycznej do γ przeprowadzonej przez D, leż _{}acym po tej samej stronie prostej AC co B. Prosta BE przecina prost _{}a l w F zaś prosta AF okr _{}ag γ ponownie w G. Pokazać, że punkt symetryczny do G wzgl_{}edem prostej AB leży na prostej F C.

3. Pokazać, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c sumuj _{}acych si_{}e do 1 zachodzi nierówność:

a(1 + 2a + bc)^{\frac{3}{2}} + b(1 + 2b + ca)^{\frac{3}{2}} + c(1 + 2c + ab)^{\frac{3}{2}} \frac{64}{27}