Pi_{}eciogodzinówka przed drugim etapem, werszyn Chuck Norris visiting China

luty 2006, dzień 1.

1. Pokazać, że dla każdego k całkowitego dodatniego istnieje takie n całkowite dodatnie, że równanie:

x_{1}^{5} + x_{2}^{6} + x_{3}^{7} + x_{4}^{8} + x_{5}^{9} + x_{6}^{10} + x_{7}^{11} + x_{8}^{12} = n

ma przynajmniej k rozwi _{}azań w ci _{}agach liczb całkowitych dodatnich (x_{1}, x_{2}, …, x_{8}).

2. Wypukły sześciok _{}at ABCDEF w którym przeciwległe boki s _{}a równoległe, ma obwód p, zaś promienie okr_{}egów opisanych na trójk _{}atach F AB,BCD,DEF wynosz _{}a odpowiednio R_{A}, R_{C}, R_{E}. Pokazać, że:

R_{A} + R_{C} + R_{E} \frac{p}{2}

3. Permutacj_{}e (x_{1}, x_{2}, …, x_{2n}) zbioru {1, 2, …, 2n} nazywamy dobr _{}a jeśli dla co najmniej jednego i ∈ {1, 2, …, 2n − 1} zachodzi |x_{i} − x_{i+1} | = n. Pokazać, że dla każdego n całkowitego dodatniego jest wi_{}ecej dobrych permutacji niż pozostałych.