Pi_{}eciogodzinówka przed drugim etapem, werszyn Chuck Norris

styczeń 2006, dzień 2.

4. Znaleźć wszystkie wielomiany P (x) o współczynnikach rzeczywistych spełniaj _{}ace równanie P (x − 1)P (x + 1) = P (x^{2} − 1) dla każdego x rzeczywistego.

5. W trójk _{}acie ABC zachodzi AB > AC. Dwusieczna wewn_{}etrzna k _{}ata przy wierzchołku A przecina bok BC w punkcie D. Punkt E jest takim punktem na AB, że k _{}at EDB jest prosty. Punkt F jest takim punktem na AC, że k _{}aty BED i DEF maj _{}a równe miary. Pokazać, że wówczas również k _{}aty BAD i F DC maj _{}a równe miary.

6. Ogrodnik Hofman opiekuje si_{}e swoim ogrodem maj _{}acym kształt nieskończonej płaszczyzny z układem współrz_{}ednych. Na wiosn_{}e Hofman przygotowuje skończon _{}a liczb_{}e miejsc w punktach kratowych (czyli tych o współrz_{}ednych całkowitych) w których ma zamiar posadzić róże b _{}adź też goździki. Pokazać, że Hofman może w ten sposób posadzić w odpowiednich miejscach róże, a w pozostałych goździki (po jednym kwiacie na każdym miejscu), aby na każdej prostej równoległej do którejkolwiek z osi układu współrz_{}ednych liczba posadzonych róż i goździków różniła si_{}e co najwyżej o 1.