Pi_{}eciogodzinówka przed drugim etapem 2

styczeń 2006, dzień 1.

1. Pokazać, że istnieje nieskończenie wiele takich m całkowitych dodatnich, że dla każdego n całkowitego dodatniego liczba n^{4} + m jest złożona.

2. W czworok _{}acie ABCD boki AB i CD s _{}a równoległe. Przek _{}atne AC i BD przecinaj _{}a si_{}e w punkcie E. Punkt F jest ortocentrum trójk _{}ata EBC, punkt G jest ortocentrum trójk _{}ata EAD. Udowodnić, że środek odcinka GF leży na prostej przechodz _{}acej przez E i prostopadłej do AB.

3. Funkcja f przyjmuj _{}aca argumenty całkowite nieujemne spełnia warunki:

• f(0) = 0

• f(4k + 3) = f(4k) = f(k)

• f(4k + 1) = f(k) + 1

• f(4k + 2) = f(k) − 1

dla każdego k całkowitego nieujemnego. Znaleźć liczb_{}e rozwi _{}azań równania f(x) = 0 w zbiorze liczb {0, 1, 2, …, 4^{n} − 2, 4^{n} − 1}.