Pi_{}eciogodzinówka przed drugim etapem, werszyn Chuck Norris visiting China

luty 2006, dzień 2.

4. Pokazać, że jeśli szachownic_{}e a × b da si_{}e pokryć pionowymi klockami 1 × n i poziomymi 1×m tak, by na siebie nie nachodziły i nie wystawały poza plansz_{}e, to da si_{}e j _{}a pokryć klockami tylko jednego z tych rodzajów.

5. Trójk _{}at ostrok _{}atny A_{1}A_{2}A_{3} opisany jest na okr_{}egu ω stycznym do boków A_{2}A_{3},A_{3}A_{1},A_{1}A_{2} odpowiednio w punktach L_{1}, L_{2}, L_{3}. Ponadto punkty K_{1}, K_{2}, K_{3} to odpowiednio spodki wysokości poprowadzonych z A_{1}, A_{2}, A_{3}. Pokazać, że proste K_{1}K_{2}, K_{2}K_{3}, K_{3}K_{1} odbite odpowiednio wzgl_{}edem prostych L_{1}L_{2}, L_{2}L_{3}, L_{3}L_{1} wycinaj _{}a z płaszczyzny trójk _{}at wpisany w okr _{}ag ω.

6. Pokazać, że wielomian W (x) o współczynnikach rzeczywistych dla każdego x ∈ ℝ spełnia W (x) 0 wtedy i tylko wtedy, gdy istniej _{}a takie wielomiany P (x) i Q(x) o współczynnikach rzeczywistych, że dla każdego x ∈ ℝ zachodzi W (x) = (P (x))^{2} + (Q(x))^{2}.