Pi_{}eciogodzinówka przed drugim etapem 2

styczeń 2006, dzień 2.

4. Niezerowe liczby rzeczywiste a, b, c, d spełniaj _{}a nast_{}epuj _{}ace warunki: a + b + c + d = 0, \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} = 0, abcd = 1. Udowodnić, że |ab + ac + ad + bc + bd + cd| 2.

5. W trójk _{}acie ABC punkt I jest środkiem okr_{}egu wpisanego zaś M środkiem boku AB. Pokazać, że:

2IM AB\sqrt{1 − \frac{2AB}{AB + BC + CA}}

6. W ksi_{}estwie Hofmańskim jest wiele miast, z których niektóre poł _{}aczone s _{}a bezpośrednimi, dwukierunkowymi drogami, zaś w sumie dróg w ksi_{}estwie jest k. Ponadto wiadomo, że z każdego miasta da si_{}e dojechać do każdego innego, być może odwiedzaj _{}ac pewne miasta po drodze oraz, że z każdego miasta wychodz _{}a przynajmniej 2 drogi. Pokazać, że ksi _{}aże Hofman może ponumerować drogi liczbami od 1 do k tak, aby dla każdego miasta najwi_{}ekszy wspólny dzielnik numerów dróg z niego wychodz _{}acych wynosił 1.