Pi_{}eciogodzinówka przed drugim etapem

styczeń 2006, dzień 2.

4. Znaleźć liczb_{}e rozwi _{}azań układu równań:

{ x_{2}x_{1}(x_{1} + 2) = 2x_{1}^{3} + x_{2}^{2} ; x_{3}x_{2}(x_{2} + 2) = 2x_{2}^{3} + x_{3}^{2} ; x_{4}x_{3}(x_{3} + 2) = 2x_{3}^{3} + x_{4}^{2} ; ⋮ ; x_{2005}x_{2004}(x_{2004} + 2) = 2x_{2004}^{3} + x_{2005}^{2} ; x_{1}x_{2005}(x_{2005} + 2) = 2x_{2005}^{3} + x_{1}^{2}

w ci _{}agach liczb dodatnich (x_{1}, x_{2}, x_{3}, …, x_{2004}, x_{2005}).

5. Na bokach BC, CA i AB równoramiennego trójk _{}ata ABC, w którym AB = BC, obrano odpowiednio punkty D, E i F tak, by ∠BF D = ∠CDE = ∠BAC. Proste BE i CF przecinaj _{}a si_{}e w punkcie P. Wykazać, że na czworok _{}acie AEP F da si_{}e opisać okr _{}ag.

6. Pokazać, że dla dowolnych a, b, c rzeczywistych dodatnich zachodzi nierówność:

a\sqrt{b^{2} + c^{2} + bc} + b\sqrt{c^{2} + a^{2} + ca} + c\sqrt{a^{2} + b^{2} + ab} \sqrt{3}(ab + bc + ca)