Pi_{}eciogodzinówka przed drugim etapem

styczeń 2006, dzień 1.

1. Rozstrzygn _{}ać, czy istnieje n 2, dla którego istnieje ci _{}ag n różnych liczb pierwszych, których średnia harmoniczna jest liczb _{}a całkowit _{}a.

2. W sześciok _{}acie wypukłym ABCDEF zachodzi AB = BC, CD = DE, EF = F A oraz ∠BCD = ∠DEF = ∠F AB. Pokazać, że w ten sześciok _{}at da si_{}e wpisać okr _{}ag.

3. Na przyj_{}eciu spotkało si_{}e n gości. Każdy z nich wśród pozostałych zaproszonych ma dokładnie 3 przyjaciół (zakładamy, że jeżeli osoba A jest przyjacielem osoby B, to osoba B jest przyjacielem osoby A). Pokazać, że da si_{}e wybrać k gości, gdzie k nie jest podzielne przez 3, których można usadzić przy okr _{}agłym stole tak, by każdy siedział pomi_{}edzy swoimi przyjaciółmi.