Parcelacja meczu 1

1. Przy okr _{}agłym stole siedzi n osób, każda z nich ma pocz _{}atkowo przypisan _{}a inn _{}a liczb_{}e pierwsz _{}a. Co minut_{}e jedna z osób modfikuje swoj _{}a liczb_{}e mnoż _{}ac j _{}a przez liczb_{}e jednego z s _{}asiadów. Czy może si_{}e tak zdarzyć sytuacja, gdy dwie różne osoby przy stole maj _{}a przypisan _{}a t _{}a sam _{}a liczb_{}e?

2. Rozsztrzygn _{}ać, czy dla każdego n natualnego da si_{}e dobrać n parami różnych liczb tak, by iloczyn każdych dwóch z nich był podzielny przez sum_{}e pozostałych.

3. Niech p 5 b_{}edzie liczb _{}a pierwsz _{}a oraz niech r b_{}edzie liczb _{}a sposobów, na jakie da si_{}e ustawić p pionków na szachownicy p × p tak, by nie wszystkie stały w jednym rz_{}edzie (ale w kolumnie już mog _{}a). Pokazać, że p^{5}|r.

4. Pokazać, że jeśli n = rs gdzie r, s > 2 oraz r⊥s i a⊥n to n|a^{\frac{ϕ(n)}{2}} − 1.

5. Rozwi _{}azać układ równań w trójkach liczb rzeczywistych (x, y, z):

\{ \begin{matrix}\frac{1}{xy} = \frac{x}{z} + 1 \\ \frac{1}{yz} = \frac{y}{x} + 1 \\ \frac{1}{zx} = \frac{z}{y} + 1 \end{matrix}

6. W trójk _{}acie ostrok _{}atnym ABC punkt O jest środkiem okr_{}egu opisanego na ABC, zaś A′, B′, C′ s _{}a odpowiednio środkami okr_{}egów opisanych na trójk _{}atach BOC, AOC, AOB. Pokazać, że pole trójk _{}ata ABC nie przekracza pola trójk _{}ata A′B′C′.

7. W trójk _{}acie ABC punkt K jest środkiem boku BC zaś O środkiem okr_{}egu opisanego. Punkty M i N leż _{}a odpowiednio na symetralnych boków AB i AC oraz spełniaj _{}a MB⊥BC oraz NC⊥BC. Symetralna boku BC przecina prost _{}a MN w punkcie P. Pokazać, że jeśli Q jest środkiem odcinka OP, to AQ = KQ.