Stare drugie etapy

1. Znaleźć liczb_{}e rozwi _{}azań układu w trójkach uporz _{}adkowanych liczb rzeczywistych (x, y, z) zależności od parametru a:

\{ \begin{matrix}x + y^{2} + z^{2} = a \\ x^{2} + y + z^{2} = a \\ z^{2} + y^{2} + z = a \end{matrix}

2. Punkt P leży wewn _{}atrz trójk _{}ata ABC i spełnia warunek:

∠P BA = ∠P CA = \frac{1}{3}(∠ABC + ∠ACB)

Pokazać, że zachodzi:

\frac{AC}{AB + P C} = \frac{AB}{AC + P B}

3. Dany jest zbiór n 2 punktów na płaszczyźnie, z których żadne trzy nie s _{}a współliniowe. Kolorujemy odcinki pomi_{}edzy każdymi dwoma z tych punktów tak, by odcinki maj _{}ace wspólny koniec nie miały tego samego koloru. Znaleźć minimaln _{}a liczb_{}e kolorów potrzebnych do wykonania takiego kolorowania.

4. Trójk _{}at ABC, w którym ∠BAC = 90^{∘} jest podstaw _{}a ostrosłupa ABCD. Ponadto zachodz _{}a równości AD = BD oraz AB = CD. Pokazać, że ∠ACD 30^{∘}.

5. Znaleźć wszystkie trójki liczb całkowitych dla których zachodzi:

x^{2} + 3y^{2} = 1998x

6. W trójk _{}acie ABC k _{}at BAC jest rozwarty oraz zachodzi ∠BAC = 2∠ABC. Prosta prostopadła do prostej BC przechodz _{}aca przez B przecina prost _{}a AC w punkcie D. Punkt M jest środkiem boku AB. Pokazać, że ∠AMC = ∠BMD.

7. Liczby nieujemne a, b, c, d, e, f, których suma jest równa 1 spełniaj _{}a nierówność:

ace + bdf \frac{1}{108}

(a) Pokazać, że:

abc + bcd + cde + def + efa + fab \frac{1}{36}

(b) Rozstrzygn _{}ać, czy istnieje taka szóstka liczb a, b, c, d, e, f sumuj _{}aca si_{}e do 1, dla której w obu podanych nierównościach zachodz _{}a równości.