Zadania niestandardowe i raczej hardcorowe

kółko starsze, 21 lutego 2006

1. Znaleźć wszystkie skończone zbiory A punktów na płaszczyźnie, aby symetralna każdego odcinka ł _{}acz _{}acego dwa punkty z tego zbioru była osi _{}a symetrii zbioru A.

2. W trójk _{}acie ABC punkt I jest środkiem okr_{}egu wpisanego, który to jest styczny do boków BC, AC, AB odpowiednio w punktach K, L, M. Proste KM i LM przecinaj _{}a prost _{}a równoległ _{}a do KL przechodz _{}ac _{}a przez C w punktach Q i S. Pokazać, że k _{}at ∠QIS jest ostry.

3. Niech n b_{}edzie ustalon _{}a liczb _{}a całkowit _{}a dodatni _{}a. Znaleźć najmniejsze takie C, aby dla każdego ci _{}agu liczb nieujemnych x_{1}, x_{2}, …, x_{n} zachodziło:

∑_{i<j} x_{i}x_{j}(x_{i}^{2} + x_{j}^{2}) C(∑_{i} x_{i})^{4}

4. Rozstrzygn _{}ać, czy istnieje taka funkcja f : ℤ^{+} −→ ℤ^{+} , by f(1) = 2 i dla każdego n ∈ ℤ^{+} zachodziło f(f(n)) = f(n) + n oraz f(n + 1) > f(n).

5. Rozstrzygn _{}ać, czy istnieje taki podzbiór liczb całkowitych nieujemnych, by każd _{}a liczb_{}e całkowit _{}a dodatni _{}a dało si_{}e jednoznacznie przedstawić jako różnica dwóch elementów tego podzbioru.

6. Rozstrzygn _{}ać, czy istnieje dowolnie duży podzbiór punktów na płaszczyźnie, by odległość pomi_{}edzy dowolnymi dwoma z nich była niewymierna, ale by każde trzy tworzyły niezdegenerowany trójk _{}at o wymiernym polu.

7. Onufry z Joasi _{}a graj _{}a w gr_{}e. Na pocz _{}atku dana jest liczba całkowita n_{0} > 1. W kolejnych turach najpierw Onufry znaj _{}ac n_{2k} wybiera n_{2k+1} tak, by n_{2k} n_{2k+1} n_{2k}^{2} a nast_{}epnie Joasia dobiera tak n_{2k+2} , by \frac{n_{2k+1}}{n_{2k+2}} = p^{α} dla pewnego pierwszego p i całkowitego dodatniego α. Onufry wygrywa jeśli dobierze liczb_{}e 2006 zaś Joasia, jeśli 1. Dla jakich n_{0} Onufry ma strategi_{}e wygrywaj _{}ac _{}a, dla jakich Joasia, a dla jakich żadne z nich?