Zadania różne i raczej mało hardcorowe

kółko młodsze, 23 lutego 2006

1. Niech g(x) = \frac{9^{x}}{3+9^{x}} . Obliczyć g(\frac{1}{2006}) + g(\frac{2}{2006}) + … + g(\frac{2005}{2006}).

2. W trójk _{}acie ABC takim, że k _{}aty przy wierzchołkach B i C wynosz _{}a przynajmniej po 45^{∘} dobudowano na zewn _{}atrz trójk _{}aty prostok _{}atne równoramienne BAP i CAQ takie, że k _{}aty ∠BAP i ∠CAQ oraz do wewn _{}atrz trójk _{}at prostok _{}atny równoramienny BRC taki, że k _{}at ∠BRC jest prosty. Pokazać, że trójk _{}at P QR jest prostok _{}atny równoramienny.

3. W trójk _{}acie ABC na bokach BC, AC, AB obrano odpowiednio punkty P, Q, R a nast_{}epnie na prostych QR, P R, P Q obrano punkty A′B′C′ takie, że AB∥A′B′,BC∥B′C′ oraz AC∥A′C′. Pokazać, że \frac{A′B′}{AB} = \frac{[P QR]}{[ABC]}.

4. W kwadracie ABCD o boku 1 na bokach AB i CD obrano odpowiednio punkty P i Q. Proste AQ i DP przecinaj _{}a si_{}e w K zaś proste BQ i CP przecinaj _{}a si_{}e w L. Obliczyć maksymalne pole czworok _{}ata P KQL dla różnych doborów punktów P i Q.

5. Czy istnieje prawidłowo zapisana (tzn. bez zer na pocz _{}atku) pot_{}ega dwójki taka, aby można było przestawiaj _{}ac jej cyfry uzyskać inn _{}a, prawidłowo zapisan _{}a pot_{}eg_{}e dwójki?

6. Pokazać, że k jest wymierne wtedy i tylko wtedy, gdy w ci _{}agu k, k + 1, k + 2, … istniej _{}a trzy różne wyrazy tworz _{}ace ci _{}ag geometryczny.

7. Liczby dodatnie a, b, c, d spełniaj _{}a układ równań:

\{ \begin{matrix}a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3d^{3} \\ b^{4} + c^{4} + d^{4} = 3a^{4} \\ c^{5} + d^{5} + a^{5} = 3b^{5} \end{matrix}

Pokazać, że a = b = c = d.

8. Pokazać, że istnieje takie n ∈ ℤ^{+} , że liczby n + 1, n + 2, …, n + 200666666 s _{}a złożone a ponadto liczba n + 666 ma conajmniej 200666 różnych dzielników pierwszych.