Nierówności z trójk _{}atami

1. Pokazać, że jeśli a, b, c - boki trójk _{}ata, to:

\frac{a}{b + c − a} + \frac{b}{c + a − b} + \frac{c}{a + b − c} 3

2. Niech a, b, c - boki trójk _{}ata, a r- promień okr_{}egu wpisanego. Pokazać, że:

6\sqrt{3}r a + b + c

3. Niech r, R - promienie okr_{}egu wpisanego i opisanego na trójk _{}acie. Pokazać, że 2r R.

4. Niech a, b, c - boki trójk _{}ata, a r- promień okr_{}egu wpisanego. Pokazać, że:

a\sqrt{−a + b + c} + b\sqrt{a − b + c} + c\sqrt{a + b − c} 6r\sqrt{a + b + c}

5. Niech a, b, c ∈ ℝ^{+} . Pokazać, że:

2a^{3} + 2b^{3} + 2c^{3} a^{2}b + ab^{2} + b^{2}c + bc^{2} + c^{2}a + ca^{2}

6. Niech ABC - trójk _{}at o bokach a, b, c i o środku okr_{}egu wpisanego I. Pokazać, że:

AI^{2} + BI^{2} + CI^{2} \frac{(a + b + c)^{2}}{9}

7. Niech r, R - promienie okr_{}egu wpisanego i opisanego na trójk _{}acie o bokach a, b, c. Pokazać, że:

rR \frac{(a + b + c)^{2}}{54}