Nierówności II

4.03.2009

1. Liczby dodatnie a, b, c spełniaj _{}a warunek: abc ⩾ 1. Udowodnij, że:

(1 + a + b)^{2} + (1 + b + c)^{2} + (1 + c + a)^{2} ⩾ 27.

2. Pokazać, że dla dodatnich liczb a, b zachodzi nierówność:

\frac{1}{(1 + \sqrt{a})^{2}} + \frac{1}{(1 + \sqrt{b})^{2}} ⩾ \frac{2}{2 + a + b} .

3. Udowodnij, że dla liczb rzeczywistych x_{1}, x_{2}, …, x_{n} oraz dla dodatnich liczb rzeczywistych y_{1}, y_{2}, …, y_{n} prawdziwa jest nierówność:

∑_{i=1}^{n} \frac{x_{i}^{2}}{y_{i}} ⩾ \frac{(∑ x_{i})^{2}}{∑ y_{i}} .

4. a, b, c, d s _{}a takimi dodatnimi liczbami rzeczywistymi, że 3\sqrt{3}(d + 1) ⩾ a + b + c. Dowieść, że zachodzi nierówność:

\frac{(a + bd)^{2}}{c} + \frac{(b + cd)^{2}}{a} + \frac{(c + ad)^{2}}{b} ⩾ abc.

5. Iloczyn dodatnich liczb rzeczywistych a, b, c wynosi 1. Wykaż, że:

ab^{2} + bc^{2} + ca^{2} ⩾ ab + bc + ca.

6. Wykazać, że dla dowolnych liczb nieujemnych a, b, c, d prawdziwa jest nierówność:

\frac{a + b + c + d}{4} ⩾ \sqrt{\frac{ab + ac + ad + bc + bd + cd}{6}} .