Nierówności

29.10.2008

1. Pokazać, że dla liczb rzeczywistych x, y, z zachodzi:

x^{4} + y^{4} + z^{2} ⩾ \sqrt{8}xyz.

2. Liczby a, b, c s _{}a długościami boków trójk _{}ata. Udowodnij, że:

\frac{a}{b + c − a} + \frac{b}{c + a − b} + \frac{c}{a + b − c} ⩾ \frac{b + c − a}{a} + \frac{c + a − b}{b} + \frac{a + b − c}{c} .

3. Iloczyn dodatnich liczb a_{1}, a_{2}, …, a_{n} (n 2) równy jest 1. Pokazać, że:

\frac{1}{1 + a_{1}} + \frac{1}{1 + a_{2}} + … + \frac{1}{1 + a_{n}} ⩾ 1.

4. Liczby rzeczywiste x, y, z spełniaj _{}a nierówności:

|x| ⩾ |y + z|  |y| ⩾ |z + x|  |z| ⩾ |x + y|.

Wykazać, że x + y + z = 0.

5. Pokazać, że jeśli a, b, c ∈ ℝ_{+} oraz a + b + c = 1, to:

\sqrt{2a + 1} + \sqrt{2b + 1} + \sqrt{2c + 1} ⩽ \sqrt{15}.

6. Udowodnij, że dodatnie liczby rzeczywiste a, b, c spełniaj _{}a nierówność:

\frac{2}{a + b} + \frac{2}{b + c} + \frac{2}{c + a} ⩾ \frac{9}{a + b + c} .

7. Niech a, b, c ∈ ℝ_{+} . Pokazać, że:

(a + b − c)(b + c − a)(c + a − b) ⩽ abc.