KÓŁECZKO Z NIERÓWNOŚCI (30.11.06)

1. TEORIA

1.1. Nierówności mi_{}edzy średnimi: Dla dowolnych liczb dodatnich a_{1}, a_{2}, …, a_{n} zachodzi:

\sqrt{\frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}}{n}}  ^{\frac{∑ _{i=1}^{n} a_{i}}{n}}  \sqrt[n]{a_{1} · a_{2} · . . . · a_{n}} _{\frac{n}{∑ {n \atop i=1} \frac{1}{a_{i}}}}

1.2. Nierówność Muirheda Jeśli dla ci _{}agów (a_{1}, a_{2}, …, a_{n}) i (b_{1}, b_{2}, …, b_{n}) zachodzi:

1) dla każego k zachodzi ∑ _{i=1}^{k} a_{i} ∑ _{i=1}^{k} b_{i}

2) dla n mamy ∑ _{i=1}^{n} a_{i} = ∑ _{i=1}^{n} b_{i} mówimy, że a ≻ b. Nierówność Muirheda: jeśli a ≻ b, to dla dodatnich x_{1}, x_{2}, …, x_{n} zachodzi: ∑ _{sym} x_{1}^{a_{1}} · x_{2}^{a_{2}} · . . . · x_{n}^{a_{n}} ∑ _{sym} x_{1}^{b_{1}} · x_{2}^{b_{2}} · . . . · x_{n}^{b_{n}}

1.3. Cauchy-Schwarz Dla dowolnych ci _{}agów liczb (a_{1}, a_{2}, …, a_{n}) i (b_{1}, b_{2}, …, b_{n}) zachodzi: (∑ _{i=1}^{n} a_{i}^{2})(∑ _{i=1}^{n} b_{i}^{2}) (∑ _{i=1}^{n} a_{i}b_{i})^{2}

1.4. Cauchy-Schwarz w formie Engela Dla dodatnich ci _{}agów liczb (a_{1}, a_{2}, …, a_{n}) i (b_{1}, b_{2}, …, b_{n}) zachodzi: ∑ _{i=1}^{n} \frac{a_{i}^{2}}{b_{i}} \frac{(∑ _{i=1}^{n} a_{i})^{2}}{∑ _{i=1}^{n} b_{i}}

1.5. Średnie Średni _{}a stopnia k liczb dodatnich a_{1}, a_{2}, …, a_{n} nazywamy:

M_{(a,k)} = \sqrt[k]{\frac{∑ _{i=1}^{n} a_{i}^{k}}{n}} oraz przyjmujemy M_{(a,0)} = \sqrt[n]{a_{1} · a_{2} · . . . · a_{n}} Wtedy dla dowolnych p q zachodzi M_{(a,p)} M_{(a,q)}.

2.ZADANKA - udowodnić, że…

2.1. a, b, c ∈ ℝ^{+} ⇒ (a + b)(b + c)(c + a) 8abc

2.2. a, b, c - długości boków pewnego trójk _{}ata ⇒ (a + b − c)(c + a − b)(b + c − a) abc

2.3. a, b, c ∈ ℝ^{+} ⇒ \frac{a^{3}}{bc} + \frac{b^{3}}{ca} + \frac{c^{3}}{ab} \frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{c} + \frac{c^{2}}{a} a + b + c

2.4. a, b ∈ ℝ ⇒ a^{2} + b^{2} + \frac{1}{a^{2}} + \frac{b}{a} \sqrt{3}

2.5. (a, b, c ∈ ℝ^{+} ∧ a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1) ⇒ \frac{ab}{c} + \frac{bc}{a} + \frac{ca}{b} 3

2.6. a, b, c ∈ ℝ^{+} ⇒ a^{4} + b^{4} + c^{4} \sqrt{a^{8} + 8a^{2}b^{3}c^{3}}

2.7. (a, b, c ∈ ℝ^{+} ∧ a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3) ⇒ a^{4} + b^{4} + c^{4} + a + b + c 6

2.8. (x, y, z ∈ ℝ^{+} ∧ xyz = 1) ⇒ \frac{1}{x^{3}+y^{3}+1} + \frac{1}{y^{3}+z^{3}+1} + \frac{1}{z^{3}+x^{3}+1} 1