Zadanka różne

wtorek, 14 lutego 2006

1. Niech a i b bed _{}a wzgl_{}ednie pierwszymi liczbami naturalnymi i n liczb _{}a naturaln _{}a. Dowieść, że istnieje nieskończenie wiele takich k, iż NW D(ak + b, n) = 1.

2. Udowodnić (nie korzystaj _{}ac z tw. Czebyszewa), że funkcji π(x) nie da si_{}e przedstawić w postaci π(x) = \frac{P (x)}{Q(x)}, gdzie P (x) i Q(x) to wielomiany.

3. Dowieść, że dla liczb a, b, c ∈ ℝ ⩾ 1 zachodzi nierówność:

\sqrt{a − 1} + \sqrt{b − 1} + \sqrt{c − 1} ⩽ \sqrt{c(ab + 1)}

4. Dowieść, że dla liczb dodatnich a, b, c ∈ ℝ spełniaj _{}acych warunek a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3, zachodzi nierówność:

\frac{1}{1 + ab} + \frac{1}{1 + bc} + \frac{1}{1 + ca} ⩾ \frac{3}{2}

5. Dowieść, tym razem, że dla a, b, c ⩾ 0, abc = 1 zachodzi:

\frac{1 + ab^{2}}{c^{3}} + \frac{1 + bc^{2}}{a^{3}} + \frac{1 + ca^{2}}{b^{3}} ⩾ \frac{18}{a^{3} + b^{3} + c^{3}}

6. Pokazać, że dla m, n ∈ ℕ spełniaj _{}acych warunek n > m zachodzi podzielność:

n|NW D(n, m)\binom{n}{m}

7. Dowieść, że jeśli n ∈ ℕ to: n^{π(2n)−π(n)} < 4^{n}.

Do dwóch zadań uwaga: π(n) to ilość liczb pierwszych mniejszych równych n.