Zadanka różne

wtorek, 28 lutego 2006

1. Pokazać, że równanie a^{2}+b^{5} = c^{3} ma nieskończenie wiele rozwiazań w liczbach całkowitych dodatnich.

2. Pewna liczba szkół wzi_{}eła udział w turnieju wysyłaj _{}ac reprezentacje złożone z pewnej liczby dziewczynek i pewnej liczby chłopców, przy czym całkowita liczba chłopców bior _{}acych udział w turnieju różniła si_{}e od całkowitej liczby dziewczynek o 1. Nast_{}epnie odbył si_{}e mecz pomi_{}edzy każdymi dwoma reprezentantami pochodz _{}acymi z różnych szkół. Wiadomo, że liczba meczów w których zawodnicy byli przeciwnej płci różniła si_{}e od liczby meczów w którcyh byli tej samej o co najwyżej 1. Wyznaczyć maksymaln _{}a liczb_{}e szkół, które wystawiły nieparzyst _{}a liczb_{}e reprezentantów.

3. Dowieść, że dla liczb a, b, c ∈ ℝ, spełniaj _{}acych warunek a+b+c = 1 zachodzi nierówność:

\sqrt{ab + c} + \sqrt{bc + a} + \sqrt{ca + b} ⩾ 1 + \sqrt{ab}+ \sqrt{bc}+ \sqrt{ca}

4. Dowieść, że istnieje nieskończenie wiele takich n ∈ ℕ, że n^{2} + 1|n!.

5. Znaleźć wszystkie liczby a, b, c ∈ ℕ, spełniaj _{}ace warunek 1 < a < b < c, takie że:

(a − 1)(b − 1)(c − 1)|abc − 1

6. Niech liczby x_{1}, x_{2}, .., x_{n} ∈ [−1, 1], wtedy x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + .. + x_{n}^{3} = 0 ⟹ x_{1} + x_{2} + .. + x_{n} ⩽ n/3