Nierówności dla grupy starszej

JensenJensenJensen

1. Niech x, y, z ∈ ℝ^{+} oraz x + y + z = 3. Pokazać, że:

\frac{4x − 1}{3x + 1} + \frac{4y − 1}{3y + 1} + \frac{4z − 1}{3z + 1} \frac{9}{4}

2. Niech x, y, z ∈ ℝ^{+} oraz x + y + z = 1. Pokazać, że:

x\sqrt{y + z} + y\sqrt{x + z} + z\sqrt{x + y} \sqrt{x(1 − x) + y(1 − y) + z(1 − z)}

3. Niech x, y, z ∈ ℝ^{+} oraz x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1. Pokazać, że:

\frac{x}{\sqrt{y^{4} + z^{4}}} + \frac{y}{\sqrt{x^{4} + z^{4}}} + \frac{z}{\sqrt{x^{4} + y^{4}}} \sqrt{\frac{3}{2}} \frac{1}{x^{4} + y^{4} + z^{4}}

4. Niech a, b ∈ (0, π) oraz sina + sinb = 1. Pokazać, że: sin(a + b) cosa sinb+ cosb sina

5. W trójk _{}acie ABC punkt I jest środkiem okr_{}egu wpisanego zaś, D,E,F odpowiednio przeci_{}eciami AI,BI,CI z przeciwłegłymi bokami. Pokazać, że:

\frac{AF · BD · CE}{AD · BE · CF} \frac{1}{3\sqrt{3}}

6. Niech x_{1}, x_{2}, …, x_{n} ci _{}ag liczb rzeczywistych dodatnich sumuj _{}acych si_{}e do 1. Pokazać, że

∑_{i=1}^{n} x_{i}^{x_{i}+1} \frac{1}{e}^{\frac{1}{e}}

7. Pokazać, że dla a, b, c ∈ R^{+} zachodzi:

\sqrt{\frac{a^{3}}{b + c}} + \sqrt{\frac{b^{3}}{a + c}} + \sqrt{\frac{c^{3}}{a + b}} \frac{a + b + c}{\sqrt{2}}

8. Dane s _{}a liczby rzeczywiste dodatnie α_{1}, α_{2}, …, α_{n} takie, że α_{1} + α_{2} + … + α_{n} = π oraz n 2. Pokazać, że:

∑_{i=1}^{n} ctgα_{i} ctg \frac{π}{n}