KÓŁECZKO Z KÓLECZEK, CZWOROK _{}ATÓW I INNYCH BAJERÓW (17.01.07)

1. TEORIA

1.1. NAJMOCNIEJSZE TWIERDZENIE GEOMETRII Dany jest okr _{}ag o i punkt A na zewn _{}atrz okr_{}egu. Punkty B i C s _{}a punktami styczności prostych przechodz _{}acych przez A do okr_{}egu o. Wtedy AB = AC = Ao

1.2. Czworok _{}at wpisany w okr _{}ag Czworok _{}at ABCD jest można wpisać w okr _{}ag wtedy i tylko wtedy gdy ∠A + ∠C = ∠B + ∠D.

1.2. Czworok _{}aty wypukłe, wkl_{}esłe, krzyżowe opisane na okr_{}egach W czworok _{}at wypukły ABCD można wpisać ok _{}ag wtedy i tylko wtedy gdy AB + CD = AD + BC. W czworok _{}at wkl_{}esły ABCD (wkl_{}esły jest k _{}at ADC) można wpisać okr _{}ag (styczny do AB i CB i przedłużeń AD i CD) wtedy i tylko wtedy gdy AB + CD = AD + BC. W czworok _{}at krzyżowy ABCD, taki, że AB i CD przecinaj _{}a si_{}e, można wpisać okr _{}ag (styczny do AB i CD oraz przedłużeń BC i AD) wtedy i tylko wtedy, gdy AD + CD = AB + BC.

1.2. Okr_{}egi dopisane do trójk _{}ata Okr _{}ag dopisany do trójk _{}ata, to okr _{}ag styczny do jednego z boków trójk _{}ata i przedłużeń dwóch pozostałych.

2. ZADANIA

2.1. Okr_{}egi wpisany i dopisany s _{}a styczne do boku BC odpowiednio w X i Y, do prostej AB - odpowiednio w K i L. Udowodnić równości: BY = CX, KL = BC, AL = \frac{1}{2}(AB +BC +CA).

2.2. W czworok _{}acie wypukłym ABCD okr_{}egi wpisane w trójk _{}aty ABD i BCD s _{}a styczne do odcinka BD odpowiednio w punktach P i Q. Udowodnić, że P = Q wtedy i tylko wtedy, gdy w czworok _{}at ABCD da si_{}e wpisać okr _{}ag.

2.3. Wewn _{}atrz trójk _{}ata ABC leży punkt P. Proste AP, BP, CP przecinaj _{}a boki trójk _{}ata odpowiednio w punktach D, E, F. Udowodnić,że jeżeli w czworok _{}aty AF P E i CEP D można wpisać okr_{}egi, to w BF P D również.

2.4. Punkty P, Q, R, S leż _{}a odpowiednio na bokach AB, BC, CD, DA czworok _{}ata wypukłego ABCD. Odcinki P R i QS dziel _{}a czworok _{}at ABCD na cztery czworok _{}aty. Wykazać, że jeśli na trzech spośród nich można opisać okr_{}egi, to na czwartym również, a ABCD jest równoległobokiem.

2.5. Punkty P, Q, R, S należ _{}a odpowiednio do boków AB, BC, CD, DA czworok _{}ata wypukłego ABCD. Odcinki DP i BS przecinaj _{}a si_{}e w punkcie X, proste DQ i BR - w punkcie Y. W każdy z czworok _{}atów: ABCD, AP XS i CRQY można wpisać okr _{}ag. Wykazać, że w czworok _{}at DXBY można wpisać okr _{}ag.

2.6. Czworok _{}at ABCD jest wpisany w okr _{}ag, a jego przek _{}atne przecinaj _{}a si_{}e w punkcie M. Punkty P, Q, R, S s _{}a rzutami prostok _{}atnymi punktu M na boki czworok _{}ata ABCD. Wykazać, że w czworok _{}at P QRS można wpisać okr _{}ag.

2.7. Dany jest trójk _{}at ABC. Okr _{}ag o_{1} dopisany do tego trójk _{}ata, jest styczny do boku AC w punkcie K, okr _{}ag o_{2} dopisany do tego trójk _{}ata, jest styczny do boku AB w punkcie L. Dane s _{}a długości odcinków AK = p i BC = q. Obliczyć długość odcinka AL.