Mieszanka

1. Pokazać, że dla n całkowitego dodatniego liczba p = 2^{2^{n}} + 1 jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy p|3^{\frac{p−1}{2}} + 1.

2. Czworok _{}at ABCD jest wpisany w okr _{}ag zaś E jest punktem przeci_{}ecia jego przek _{}atnych. Niech F b_{}edzie punktem przeci_{}ecia prostej stycznej do okr_{}egu opisanego na trójk _{}acie ABE przechodz _{}acej przez A oraz prostej stycznej do okr_{}egu opisanego na trójk _{}acie CBE przechodz _{}acej przez C. Pokazać, że jeśli D ≠ F to DF ∥AC.

3. Rozstrzygn _{}ać, czy istnieje takie pierwsze p, dla którego liczby 1, 2, …, p−1 da si_{}e ustawić w kółku tak, by różnica iloczynów dwóch par kolejnych liczb na kółku nigdy nie dzieliła si_{}e przez p.

4. Pokazać, że jeśli p|a^{p} − b^{p} to i p^{2}|a^{p} − b^{p}.

5. W ksi_{}estwie Hofmańskim jest pewna liczba stacji kolejowych, z których niektóre pary s _{}a poł _{}aczone dwukierunkowymi torami. Każd _{}a par_{}e stacji ł _{}aczy co najwyżej 1 tor. Każda stacja jest poł _{}aczona z co najwyżej 3 innymi. Drog _{}a mi_{}edzy dwoma stacjami b_{}edziemy nazywali ci _{}ag parami różnych torów z których kolejny si_{}e zaczyna tam, gdzie poprzedni skończył i który ł _{}aczy stacje A i B. Pokazać, że ksi _{}aże jest w stanie podzielić tory pomi_{}edzy spółki HKP - Intercity i HKP - Przewozy Regionalne tak, aby każde dwie stacje były poł _{}aczone 0 lub 2 różnymi drogami, których tory należ _{}a tylko do HKP - Intercity oraz 0 lub 1 drog _{}a, której tory należ _{}a do HKP - Przewozy regionalne.

6a. Pokazać, że jeśli dla n > 1 zachodzi n|2^{n} + 1 to 3|n.

6b. Pokazać, że dla każdego k naturalnego 3^{k}|2^{3^{k}} + 1.

6c. Czy istnieje takie n nie b_{}ed _{}ace pot_{}eg _{}a 3, że n|2^{n} + 1?