Cztery trudne nierówności

1. Niech a, b, c b_{}ed _{}a liczbami dodatnimi, takimi, że abc = 1. Pokazać, że:

\frac{1}{a^{3}(b + c)} + \frac{1}{b^{3}(c + a)} + \frac{1}{c^{3}(a + b)} \frac{3}{2}

2. Niech a, b, c b_{}ed _{}a długościami boków trójk _{}ata ostrok _{}atnego. Pokazać, że: (a^{2}b+ab^{2}+b^{2}c+bc^{2}+c^{2}a+ca^{2})−(a^{3}+b^{3}+c^{3}) \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \sqrt{2(a^{2}b^{2} + b^{2}c^{2} + c^{2}a^{2}) − (a^{4} + b^{4} + c^{4})}

3. Pokazać, że jeśli x, y, z s _{}a liczbami dodatnimi, to zachodzi:

\frac{\sqrt{y + z}}{x} + \frac{\sqrt{z + x}}{y} + \frac{\sqrt{x + y}}{z} \frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{x + y + z}}

4. Wykazać, że dla liczb dodatnich a, b, c, d zachodzi nierówność

\frac{a^{4}}{a^{3} + a^{2}b + b^{3}} + \frac{b^{4}}{b^{3} + b^{2}c + c^{3}} + \frac{c^{4}}{c^{3} + c^{2}d + d^{3}} + \frac{d^{4}}{d^{3} + d^{2}a + a^{3}} \frac{a + b + c + d}{3}