Trudniejsza teoria liczb

1. Znaleźć wszystkie liczby pierwsze p dla których istnieje n ∈ ℤ^{+} , że

p|2^{n} + 3^{n} + 6^{n} − 1

2. Niech p_{n}(k) oznacza liczbę permutacji zbioru {1, 2, …, n} o dokładnie k punktach stałych. Pokazać, że:

∑_{i=0}^{n} ip_{n}(i) = n!

3. Dla liczby całkowitej dodatniej n macierz _{}a srebrn _{}a nazywamy tak _{}a macierz n × n, że w dla każdego i ∈ {1, 2, …, n} w i-tym wierszu i w i-tej kolumnie razem wyst_{}epuj _{}a wszystkie liczby ze zbioru {1, 2, …, 2n − 1}.

(a) Pokazać, że dla n = 1997 nie istnieje macierz srebrna.

(b) Pokazać, że dla nieskończenie wielu n istnieje macierz srebrna.

4. Niech d(a) oznacza liczb_{}e dzielników dodatnich liczby a. Znaleźć wszystkie takie k całkowite dodatnie dla których istnieje n, że d(n^{2}) = kd(n).

5. Skonstruować tak _{}a funkcj_{}e f : ℚ^{+} −→ ℚ^{+} , że dla dowolnych x, y należ _{}acych do dziedziny:

f(xf(y)) = \frac{f(x)}{y}