Meksykańskie tematy

Zadanie 1. Dany jest równoległobok ABCD. Niech o b_{}edzie środkiem okr_{}egu opisanego na ABD. Proste BC i CD przecinaj _{}a o ponownie w punktach E i F. Pokazać, że środek okr_{}egu opisanego na CEF leży na o.

Zadanie 2. Dane jest n ∈ N. Niech d_{1} b_{}edzie zbiorem dzielników n^{2} które przystaj _{}a do 1 mod 4. Niech d_{3} b_{}edzie zbiorem dzielników n^{2} które przystaj _{}a do 3 mod 4. Co jest wi_{}eksze #d1 czy #d3 ?

Zadanie 3. Znaleźć wszystkie funkcje f : (0, 1) → R takie, że dla dowolnych x, y ∈ (0, 1) zachodzi

f(xy) = xf(x) + yf(y)

Zadanie 4. Dany jest pi_{}eciok _{}at wypukły o polu 1993, oraz 995 punktów wewn _{}atrz tego pi_{}eciok _{}ata. Wierzchołki oraz owych 995 punktów tworz _{}a zbior S. Pokazać, że spośród punktów w S można wybrać 3 tworz _{}ace trójk _{}at o polu nie wi_{}ekszym niż 1.

Zadanie 5.Niech ABCD b_{}edzie trapezem, przy czym AB||CD. Zewn_{}etrzne dwusieczne k _{}atów ∠A i ∠C przecinaj _{}a si_{}e w P, a zewn_{}etrzne dwusieczne k _{}atów ∠B i ∠D przecinaj _{}a sie w punkcie Q. Pokazać, że P Q jest połow _{}a obwodu ABCD.

Zadanie 6. Niech n ∈ N b_{}edzie liczb _{}a nieparzyst _{}a. Pokazać, że wówczas

n|2^{n!} − 1

Zadanie 7. Pokazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych takich, że

n|2^{n} + 2