Menelaus

1. W trójk _{}acie ABC punkty K, L s _{}a przeci_{}eciami dwusiecznych wewn_{}etrznych k _{}atów ∠BAC i ∠CBA odpowiednio z bokami BC i AC. Ponadto prosta AB przecina dwusieczn _{}a zewn_{}etrzn _{}a k _{}ata ACB w punkcie M. Pokazać, że punkty K, L, M s _{}a współliniowe.

2. Na bokach BC,AC i AB trójk _{}ata ABC obrano punkty K, L, M odpowiednio tak, że proste AK,BL,CM przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie P. Pokazać, że \frac{AP}{P K} = \frac{AL}{LC} + \frac{AM}{MB} .

3. Na prostych odpowiednio BC, AC, AB, zawieraj _{}acych boki trójk _{}ata ABC obrano współliniowe punkty K, L, M. Niech X_{A}, X_{B}, X_{C} b_{}ed _{}a środkami boków odpowiednio BC, AC, AB zaś K′, L′, M′ odbiciami K, L, M wzgl_{}edem odpowiednio X_{A}, X_{B}, X_{C}. Pokazać, że K′, L′, M′ s _{}a współliniowe.

4. W trapezie ABCD, w którym BC > AD, na dłuższej podstawie AB obrano taki punkt K by KB = CD. Nast_{}epnie przeprowadzono przez punkt B tak _{}a prost _{}a, by przecinała ona odcinki AD i KD w punktach odpowiednio E i F oraz by AE = KF. Na boku BC oznaczono taki punkt S, że BS = AD. Pokazać, że wówczas EC∥F S.

5. Punkty D i E leż _{}a odpowiednio na bokach BC i CA trójk _{}ata ABC, przy czym BD = AE. Odcinki AD i BE przecinaj _{}a si_{}e w punkcie P. Dwusieczna kata ACB przecina odcinki AD i BE odpowiednio w punktach Q i R. Wykazać, że

\frac{P Q}{AD} = \frac{P R}{BE}

.

6. Dany jest trójk _{}at ABC i punkt P. Pokazać, że rzuty P na proste zawieraj _{}ace boki trójk _{}ata s _{}a współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy P leży na okż_{}egu opisanym na ABC.

7. Na płaszczyźnie dane s _{}a parami niewspółśrodkowe okr_{}egi ω_{1}, ω_{2}, ω_{3}. Pokazać, że punkty przeci_{}ecia zewn_{}etrznych stycznych każdej z par okr_{}egów leż _{}a na jednej prostej.

8. Sfera s jest styczna do kraw_{}edzi AB czworościanu ABCD w K, do kraw_{}edzi BC w L, do CD w M i do DA w N. Pokazać, że K, L, M, N leż _{}a w jednej płaszczyźnie.