Mecz matematyczny

niedziela, 25 stycznia 2004

1. Rozstrzygn _{}ać, dla jakich n naturalnych da si_{}e wszystkie podbiory zbioru {1 …n} pogrupować w \binom{n}{[n/2]} parami rozł _{}acznych łancuchów, gdzie przez łańcuch rozumiemy ci _{}ag zbiorów, z których każdy kolejny jest podzbiorem poprzedniego i ma dokładnie o jeden element mniej.

2. Rozstrzygn _{}ać, dla jakich n 3 naturalnych istniej _{}a liczby naturalne x i y takie, że 7x^{2} + y^{2} = 2^{n}.

3. Okr_{}egi ω_{1} i ω_{2} o środkach odpowiednio O_{1} i O_{2} s _{}a styczne zewn_{}etrznie w C. Prosta l jest wspóln _{}a styczn _{}a tych okr_{}egów w punkcie C. Okr _{}ag ω o środku w O jest styczny zewn_{}etrznie do okr_{}egów ω_{1} i ω_{2}, zaś odcinek AB jest średnic _{}a okr_{}egu ω prostopadł _{}a do prostej l (punkt A leży po tej samej stronie prostej l co punkt O_{1}). Wykazać, że proste AO_{2}, BO_{1} i l maj _{}a punkt wspólny.

4. W wypukłym czworok _{}acie ABCD zachodzi warunek ∡ABC + ∡BCD < π. Proste AB i CD przecinaj _{}a si_{}e w punkcie E. Wykazać, że ∡ABC = ∡ADC wtedy i tylko wtedy, gdy:

AC^{2} = CD · CE − AB · AE.

5. Znaleźć wszystkie pary liczb pierwszych p i q, spełniaj _{}acych warunek:

pq | (5^{p} − 2^{p})(5^{q} − 2^{q}).

6. Ci _{}ag a_{n} liczb naturalnych, w którym a_{0} = 0, spełnia zależność:

a_{n} = n − a_{a_{n}} .

Wykazać, że

(a) a_{n+1} a_{n} dla n = 0, 1, 2, 3, . . ..

(b) Nie istnieje takie n ∈ ℕ, że a_{n} = a_{n+1} = a_{n+2} .

7. Znajdź wszystkie ci _{}agi liczb nieujemnych a_{1} a_{2} … a_{n} spełniaj _{}ace równości:

∑_{i=1}^{n} a_{i} = 96,  ∑_{i=1}^{n} a_{i}^{2} = 144,  ∑_{i=1}^{n} a_{i}^{3} = 216.

8. W czworościanie ABCD zachodzi: ∡ACD = ∡BAC i ∡ABD = ∡BDC. Wykazać, że AB = CD.

9. Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, x takich, że ∑ _{i=1}^{n} x_{i} = x zachodzi nierówność:

∑_{i=1}^{n} \sqrt{x_{i}(x − x_{i})} \sqrt{∑_{i=1}^{n} x(x − x_{i})} .

10. Wykazać, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c b_{}ed _{}acych bokami trójk _{}ata zachodzi nierówność:

\sqrt{a + b − c} + \sqrt{a − b + c} + \sqrt{−a + b + c} \sqrt{a} + \sqrt{b}+ \sqrt{c}.