Liga zadaniowa, seria III

Termin: 16.02.2010

1. Znaleźć wszystkie układy liczb rzeczywistych a, b, c, d spełniaj _{}ace układ równań:

\{ \begin{matrix}abc + ab + bc + ca + a + b + c = 2 \\ bcd + bc + cd + db + b + c + d = 0 \\ cda + cd + da + ac + c + d + a = 1 \\ dab + da + ab + bd + d + a + b = 0 \end{matrix}

2. Niech p będzie większ _{}a od 5 liczb _{}a pierwsz _{}a oraz S = {p − n^{2} : n ∈ ℕ, n^{2} < p} (S jest zbiorem wszystkich liczb postaci p − n^{2}, gdzie n jest tak _{}a liczb _{}a naturaln _{}a, że n^{2} < p). Wykazać, że do zbioru S należ _{}a dwa różne, większe od 1, elementy a, b takie, że a|b.

3. W trójk _{}acie ABC długość środkowej CM jest równa długości boku AB. Punkt D jest symetryczny do punktu C względem punktu A, a punkt E jest symetryczny do punktu M względem punktu B. Udowodnić, że proste DM i CE s _{}a prostopadłe.

4. Punkt I jest środkiem okręgu wpisanego w trójk _{}at ABC, a punkt D jest środkiem boku AC. Wykazać, że jeśli k _{}at AID jest prosty, to AC + BC = 3AB.

5. Liczby od 1 do 2n ustawiono w losowej kolejności na pozycjach od 1 do 2n. Następnie do każdej z liczb dodano numer jej pozycji. Dowieść, że wśród otrzymanych sum s _{}a dwie o tej samej reszcie z dzielenia przez 2n.

6. Dane s _{}a liczby całkowite a_{1}, a_{2}, …, a_{2n+1} spełniaj _{}ace warunek: jeśli pominiemy któr _{}akolwiek z nich, to pozostałe można podzielić na dwie grupy po n liczb w ten sposób, że sumy liczb z obu grup s _{}a równe. Wykaż, że a_{1} = a_{2} = ... = a_{2n+1} .

7. Znaleźć wszystkie wielomiany P stopnia n o współczynnikach rzeczywistych, maj _{}ace n pierwiastków rzeczywistych, takie by dla każdej liczby rzeczywistej x zachodziła równość:

P (2P (x)) = 2P (P (x)) + 2P (x)^{2}.

8. Rozważmy funkcje f, określone na zbiorze liczb całkowitych, takie, że równość f(x) = f(x^{2} + x + 1) zachodzi dla wszystkich liczb całkowitych x. Wyznaczyć:

(i) wszystkie funkcje parzyste f; (ii) wszystkie funkcje nieparzyste f spełniaj _{}ace powyższe warunki.

9. Punkt P należy do wnętrza k _{}ata o ramionach OA i OB. Znaleźć punkty X na OA i Y na OB takie, by X, P, Y były współliniowe oraz iloczyn XP · Y P był najmniejszy.

10. Niech N, n, k będ _{}a liczbami naturalnymi i N > n. Która liczba jest większa:

\underbrace{\sqrt{N + \sqrt{n + \sqrt{N + …}}}}_{k} czy \underbrace{\sqrt{n + \sqrt{N + \sqrt{n + …}}}}_{k} ?

(Uwaga: W każdym z powyższych wyrażeń jest k pierwiastków kwadratowych, a N i n występuj _{}a na przemian.)

Każde zadanie prosimy zapisywać jednostronnie na oddzielnej kartce.

Rozwi _{}azania należy przynosić do sekretariatu do wtorku, 16.02.2010r., do 15.00. Powyższe zadania dostępne s _{}a na stronie wm.staszic.waw.pl/kolka/ i marta05.w.staszic.waw.pl/liga/. Wszystkie pytania i uwagi prosimy kierować na adres: m.kaminska@students.mimuw.edu.pl.

Miłej rozkminki;)!