Liga zadaniowa, seria I

Termin: 16.12.2009

1. Ze środka kwadratu wybiega promień świetlny, który odbija się od boków kwadratu zgodnie z zasad _{}a k _{}at padania jest równy k _{}atowi odbicia. Po pewnym czasie promień wraca do środka kwadratu. Promień nigdy nie trafił w wierzchołek, ani nie przeszedł wcześniej przez środek. Dowieść, ze liczba odbić od boków kwadratu jest nieparzysta.

2. Udowodnić, że dla dowolnego pokolorowania dwoma kolorami nieograniczonej kartki papieru w kratkę można znaleźć prostok _{}atny trójk _{}at równoramienny, którego wierzchołki s _{}a środkami kratek tego samego koloru.

3. Znajdź największ _{}a wartość, jak _{}a może przyjmować wyrażenie:

(i) x^{2}y − y^{2}x dla 0 ⩽ x, y ⩽ 1; (ii) x^{2}y + y^{2}z + z^{2}x − x^{2}z − y^{2}x − z^{2}y dla 0 ⩽ x, y, z ⩽ 1.

4. Z szachownicy 2n × 2n wycięto jedno narożne pole, zaś w przeciwległym rogu ustawiono pionek, który w każdym ruchu przestawiany na s _{}asiednie pole (czyli takie, które ma bok wspólny z polem, na którym stoi pionek). Czy można wykonać taki ci _{}ag ruchów, żeby każde pole planszy było odwiedzone przez pionek dokładnie raz?

5. Dany jest trójk _{}at ABC, w którym k _{}at przy wierzchołku A wynosi 90^{∘} oraz AB = AC. Punkty D i E leż _{}a odpowiednio na bokach AB i AC, przy czym AD = CE. Prosta przechodz _{}aca przez punkt A i prostopadła do prostej DE przecina prost _{}a BC w punkcie P. Wykazać, że AP = DE.

6. Wielomian nazywamy pierwotnym, jeśli największy wspólny dzielnik jego współczynników wynosi 1. Udowodnij, że iloczyn nieparzystej liczby wielomianów pierwotnych jest wielomianem pierwotnym.

Każde zadanie prosimy zapisywać jednostronnie na oddzielnej kartce.

Rozwi _{}azania należy przynosić do sekretariatu do środy, 16.12.2009r., do 10.00. Powyższe zadania dostępne s _{}a na stronie marta05.w.staszic.waw.pl/liga/. Wszystkie pytania i uwagi prosimy kierować na adres: m.kaminska@students.mimuw.edu.pl.

Miłej rozkminki;)!!!