Liga zadaniowa, seria II

Termin: 6.01.2010

1. Punkt D leży na boku AC trójk _{}ata ABC. Okr _{}ag o środku P opisany na trójk _{}acie ABD jest styczny do prostej BC. Okr _{}ag o środku Q opisany na trójk _{}acie BCD jest styczny do prostej AB. Odcinki P Q i BD przecinaj _{}a się w punkcie E. Udowodnić, że:

P Q · BD^{3} = 2 · AB · BC · P E · QE.

2.Znaleźć wszystkie funkcje f:ℝ→ℝ spełniaj _{}ace dla wszystkich rzeczywistych x, y, z:

f(xy) + f(xz) − 2f(x)f(yz) \frac{1}{2}.

3. Dany jest punkt M wewn _{}atrz prostok _{}ata ABCD taki, że ∠AMB +∠CMD = 180^{∘}. Znaleźć ∠ABM + ∠CDM.

4. Dowieść, że jeżeli liczby naturalne a i b s _{}a względnie pierwsze, to zachodzi:

∑_{i=1}^{a−1} [ \frac{bi}{a}] = ∑_{i=1}^{b−1} [ \frac{ai}{b} ].

(Uwaga: [x] oznacza część całkowit _{}a liczby x.)

5. Na okręgu stoj _{}a jednakowe samochody. W każdym z nich jest pewna ilość paliwa. Ł _{}acznie maj _{}a go tyle, że wystarczy dokładnie na przejechanie jednego okr _{}ażenia. Pokazać, że istnieje samochód, który może rozpocz _{}ać podróż w pewnym i kierunku i zbieraj _{}ac paliwo z napotykanych samochodów, przejechać cał _{}a trasę (okr _{}ag).

6. Na kółko matematyczne przyszło 2n osób. Dla dowolnej grupy A licz _{}acej n osób istnieje taka osoba spośród pozostałych n osób, która zna wszystkich w A. Udowodnij, że na kółko przyszła osoba, która zna wszystkich uczestników (jeśli osoba x zna osobę y to osoba y zna osobę x).

7. Wykazać, że jeśli liczby rzeczywiste a, b, c s _{}a bokami trójk _{}ata, to zachodzi nierówność:

a^{2}b(a − b) + b^{2}c(b − c) + c^{2}a(c − a) ⩾ 0.

Każde zadanie prosimy zapisywać jednostronnie na oddzielnej kartce.

Rozwi _{}azania należy przynosić do sekretariatu do środy, 6.01.2010r., do 10.00. Powyższe zadania dostępne s _{}a na stronie wm.staszic.waw.pl/kolka/ i marta05.w.staszic.waw.pl/liga/. Wszystkie pytania i uwagi prosimy kierować na adres: m.kaminska@students.mimuw.edu.pl.

Miłej rozkminki i Wesołych Świ _{}at;)!