Liga zadaniowa XIV LO im. Stanisława Staszica w Warszawie

IV seria zadań

Termin składania rozwiązań: 20 czerwca 2005 r., godz. 9:30

1. Dowieść, że jeśli p jest liczbą pierwszą, a liczba całkowita m spełnia nierówność 0 m < p − 1, to p dzieli liczbę ∑ _{j=1}^{p} j^{m}.

2. Niech S będzie sferą opisaną na czworościanie foremnym o krawędzi długości większej od 1. Sferę S przedstawiono w postaci sumy czterech zbiorów. Udowodnić, że do pewnego z tych zbiorów należą takie punkty P i Q, że długość odcinka P Q przekracza 1.

3. Liczby nieujemne a_{1}, a_{2}, …, a_{7}, b_{1}, b_{2}, …, b_{7} spełniają warunek a_{i}+b_{i} 2 dla i = 1, 2, …, 7. Wykazać, że dla pewnych dwóch różnych liczb k, m ∈ {1, 2, …, 7} zachodzi nierówność

|a_{k} − a_{m}| + |b_{k} − b_{m}| 1.

4. Dany jest czworościan ABCD. Dowieść, że krawędzie AB i CD są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje w przestrzeni taki równoległobok CDP Q, że P A = P B = P D oraz QA = QB = QC.

5. W turnieju szachowym uczestniczy 66 zawodników, każdy z każdym innym rozgrywa jedną partię, rozgrywki odbywają się w czterch miastach. Udowodnić, że pewna trójka zawodników rozgrywa wszystkie partie między sobą w tym samym mieście.

Zarys regulaminu

1. Ligę organizuje bliżej nieokreślony zbiór absolwentów XIV LO, zwany dalej Jury.

2. Każdy może uczestniczyć w lidze przez składanie własnych rozwiązań dowolnie wybranych z powyższych zadań na piśmie do sekretariatu Szkoły w zadanym terminie. Nie należy pisać rozwiązania jedego zadania na dwóch stronach tej samej kartki.

3. Otrzymane rozwiązania będą oceniane na 0, 2, 5 lub 6 punktów. Suma uzyskanych punktów we wszystkich seriach w danym roku szkolnym jest przedmiotem rankingu. W rankingu uwzględniane będą tylko osoby, które w trzech ostatnich seriach złożyły przynajmniej jedno rozwiązanie.

4. W przypadku, gdy teza zadania jest fałszywa, podanie kontrprzykładu wystarcza do uzyskania 6 punktów za rozwiązanie tego zadania. Oprócz tego można dostać dodatkowo 0, 2, 5 lub 6 punktów za uzupełnienie założeń i rozwiązanie poprawionego zadania.

5. Ostateczna interpretacja niniejszego zarysu regulaminu należy do Jury.