Liga zadaniowa XIV LO im. Stanisława Staszica w Warszawie

II seria zadań

Termin składania rozwiązań: 9 maja 2005 r., godz. 9:30

1. Rozwiązać w liczbach naturalnych układ równań

\{ \begin{matrix}x^{2} + 3y = u^{2} \\ y^{2} + 3x = v^{2}. \end{matrix}

2. Czworokąt P QRS jest wpisany w okrąg, przy czym ∢P SR = 90^{∘}. Niech H i K będą odpowiednio rzutami prostokątnymi punktu Q na proste P R i P S. Udowodnić, że prosta HK połowi odcinek QS.

3. Wykazać, że dla liczb dodatnich spełniających warunek a + b + c = 1 zachodzi nierówność

\frac{a^{9} + b^{9}}{a^{7} + b^{7}} + \frac{b^{7} + c^{7}}{b^{5} + c^{5}} + \frac{c^{5} + a^{5}}{c^{3} + a^{3}} \frac{1}{3}

4. Przekątne czworokąta ABCD, wpisanego w okrąg o środku O, przecinają się w punkcie Q. Punkty K, L, M, N są kolejno środkami okręgów opisanych na trójkątach QAB, QBC, QCD, QDA. Proste KM i LN przecinają się w punkcie P. Dowieść, że punkty O, P, Q są współliniowe.

5. Na płaszczyźnie dany jest zbiór złożony z 2n punktów (n 2), których obie współrzędne są liczbami całkowitymi z przedziału [1, n]. Dowieść, że pewne cztery punkty tego zbioru są wierzchołkami równoległoboku (niezdegenerowanego).

Zarys regulaminu

1. Ligę organizuje bliżej nieokreślony zbiór absolwentów XIV LO, zwany dalej Jury.

2. Każdy może uczestniczyć w lidze przez składanie własnych rozwiązań dowolnie wybranych z powyższych zadań na piśmie do sekretariatu Szkoły w zadanym terminie. Nie należy pisać rozwiązania jedego zadania na dwóch stronach tej samej kartki.

3. Otrzymane rozwiązania będą oceniane na 0, 2, 5 lub 6 punktów. Suma uzyskanych punktów we wszystkich seriach w danym roku szkolnym jest przedmiotem rankingu. W rankingu uwzględniane będą tylko osoby, które w trzech ostatnich seriach złożyły przynajmniej jedno rozwiązanie.

4. W przypadku, gdy teza zadania jest fałszywa, podanie kontrprzykładu wystarcza do uzyskania 6 punktów za rozwiązanie tego zadania. Oprócz tego można dostać dodatkowo 0, 2, 5 lub 6 punktów za uzupełnienie założeń i rozwiązanie poprawionego zadania.

5. Ostateczna interpretacja niniejszego zarysu regulaminu należy do Jury.