Liga zadaniowa XIV LO im. Stanisława Staszica w Warszawie

I seria zadań

Termin składania rozwiązań: 15 kwietnia 2005 r.

1. Ciąg (a_{n}) liczb dodatnich spełnia dla każdego naturalnego k 1 warunek

a_{1} + a_{2} + ⋯+ a_{k} \sqrt{k}.

Udowodnij, że dla każdego naturalnego n 1 zachodzi nierówność

∑_{j=1}^{n} a_{j}^{2} > \frac{1}{4} ∑_{j=1}^{n} \frac{1}{j}.

2. Okręgi S_{1} i S_{2} styczne do siebie zewnętrznie w punkcie K są styczne wewnętrznie do okręgu S odpowiednio w punktach A_{1} i A_{2}. Wspólna styczna do S_{1} i S_{2} poprowadzona przez K przecina okrąg S w punkcie P. Ponadto, prosta P A_{1} przecina okrąg S_{1} w punkcie B_{1}, zaś prosta P A_{2} przecina okrąg S_{2} w punkcie B_{2}. Udowodnij, że prosta B_{1}B_{2} jest wspólną styczną okręgów S_{1} i S_{2}.

3. Liczby od 1 do 101 wypisano w dowolnym porządku. Udowodnić, że można z tych 101 liczb wykreślić 90 tak, żeby pozostałych 11 tworzyło ciąg monotoniczny.

4. Na płaszczyźnie umieszczono 6 punktów w ten sposób, że każde 3 spośród nich są wierzchołkami trójkąta o bokach różnej długości. Udowodnić, że najkrótszy bok pewnego z tych trókątów jest zarazem najdłuższym bokiem innego z nich.

5. Niech n oznacza łączną liczbę włosów na głowach wszystkich ludzi żyjących obecnie na Ziemi. Rozstrzygnij, co jest większe: długość zapisu dziesiętnego liczby 2^{n} czy liczba końcowych zer w zapisie dziesiętnym liczby n!.

Zarys regulaminu

1. Ligę organizuje bliżej nieokreślony zbiór absolwentów XIV LO, zwany dalej Jury.

2. Każdy może uczestniczyć w lidze przez składanie własnych rozwiązań dowolnie wybranych z powyższych zadań na piśmie do sekretariatu Szkoły w zadanym terminie.

3. Otrzymane rozwiązania będą oceniane na 0, 2, 5 lub 6 punktów. Suma uzyskanych punktów we wszystkich seriach w danym roku szkolnym jest przedmiotem rankingu. W rankingu uwzględniane będą tylko osoby, które w trzech ostatnich seriach złożyły przynajmniej jedno rozwiązanie.

4. W przypadku, gdy teza zadania jest fałszywa, podanie kontrprzykładu wystarcza do uzyskania 6 punktów za rozwiązanie tego zadania. Oprócz tego można dostać dodatkowo 0, 2, 5 lub 6 punktów za uzupełnienie założeń i rozwiązanie poprawionego zadania.

5. Ostateczna interpretacja niniejszego zarysu regulaminu należy do Jury.