Zadania łatwe, ale nie wszystkie ;)

1. Pokazać, że dla każdego n całkowitego dodatniego zachodzi ∑ _{i=0}^{n} i\binom{n}{i} ^{2} = n\binom{2n−1}{n}.

2. Pokazać, że jeśli liczby rzeczywiste x, y, z, a spełniaj _{}a układ równań:

\{ \begin{matrix}x + y + z = a \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{a} \end{matrix}

to co najmniej jedna z liczb x, y, z jest równa a.

3. Liczby rzeczywiste a_{1}, a_{2}, …, a_{n} sumuj _{}a si_{}e do n. Znaleźć minimaln _{}a wartość wyrażenia:

\sqrt[∑_{i=1}^{n}]{a_{i}^{2} + (2i − 1)^{2}}

.

4. Okr_{}egi Γ_{1}, Γ_{2} o środkach w O_{1} i O_{2} odpowiednio przecinaj _{}a si_{}e w punktach A i B. Prosta przechodz _{}aca przez A przecina Γ_{1} ponownie w D i Γ_{2} ponownie w E. Proste DO_{1} i EO_{2} przecinaj _{}a si_{}e w punkcie P, zaś prosta przechodz _{}aca przez P i prostopadła do DE przecina prost _{}a AB w punkcie Q. Pokazać, że punkty B, D, Q, E, P leż _{}a na jednym okr_{}egu.

5. W trójk _{}acie ostrok _{}atnym ABC na boku BC obrano punkt N. Symetralne odcinków BN i CN przecinaj _{}a boki AB i AC odpowiednio w punktach G i H. Pokazać, że środek okr_{}egu opisanego na trójk _{}acie ABC leży na okr_{}egu opisanym na trójk _{}acie AGH.

6. Z szachownicy 29 × 29 wyci_{}eto 99 kwadratów 2 × 2 o bokach równoległych do boku szachownicy. Pokazać, że da si_{}e wyci _{}ać jeszcze jeden taki kwadrat.

7. Wielomian W (x) jest siódmego stopnia, ma wszystkie współczynniki całkowite i dla siedmiu różnych argumentów całkowitych przyjmuje wartości 1 lub (−1). Pokazać, że W (x) nie da si_{}e przedstawić w postaci iloczynu dwóch wielomianów o dodatnich stopniach i współczynnikach całkowitych.

8. Czy istnieje wielościan maj _{}acy nieparzyst _{}a liczb_{}e ścian, które wszystkie s _{}a trójk _{}atami?