Kwiecień plecień

22.04.2009

1. W trójk _{}acie ABC środkowa poprowadzona z wierzchołka A przecina bok BC w punkcie M. Pokazać, że jeśli wysokość opuszczona z C połowi AM, to bok AB dzieli w stosunku 1 : 2.

2. Iloczyn trzech nieujemnych liczb a, b, c jest równy 1. Wykazać, że

\frac{1 + ab}{1 + a} + \frac{1 + bc}{1 + b} + \frac{1 + ca}{1 + c} 3.

3. Niech a, b, c będ _{}a długościami boków trójk _{}ata. Czy z odcinków długości \sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c} można zbudować trójk _{}at?

4. Na tablicy zapisano 666 zer, 666 jedynek i 666 dwójek. Ruch polega na starciu trzech liczb a, b, c i napisaniu liczby – 2a + 4b + c. Rozstrzygn _{}ać, czy można doprowadzić do sytuacji, w której na tablicy pozostanie:

(i) dokładnie 2 liczby równe 1; (ii) tylko jedna liczba równa 1; (iii) tylko jedna liczba równa 0;

5. Na każdym polu szachownicy 8 na 8 stoi pionek. Możemy wykonać następuj _{}ac _{}a operację: wybieramy trzy pola znajduj _{}ace się w jednym rzędzie (b _{}adź kolumnie) i stykaj _{}ace się bokami. Jeśli na każdym ze skrajnych pól stoi (co najmniej jeden) pionek, to możemy wzi _{}ać po jednym pionku ze skrajnych pól i przestawić je na pole środkowe. Czy możemy doprowadzić do pozycji, w której wszystkie pionki znajd _{}a się na jednym polu szachownicy?

6. Mamy 1 dukata (i 0 talarów). W kantorze pierwszym możemy wymienić 1 dukata na 10 talarów, natomiast w kantorze drugim 1 talara na 10 dukatów. Czy możemy tak wymieniać pieni _{}adze, aby na końcu mieć tyle samo dukatów, co talarów?