KÓŁECZKO O KOMBINOWANIU (1.03.2007)

ZADANIA

1. Ile jest kolorowań planszy n × n, takich że w każdym kwadracie 2 × 2 s _{}a dokładnie 2 pola białe i 2 pola różowe?

2. Ile jest funkcji niemalej _{}acych ze zbioru A = {1, 2, …, n} w zbiór B = {1, 2, …, m}?

3. Niech k, n ∈ ℕ. Ile jest rozwi _{}azań nieróności x_{1}+x_{2}+…+x_{n} n w liczbach całkowitych nieujemnych?

4. Niech P (n) b_{}edzie liczb _{}a uporz _{}adkowanych podziałów liczby n (np. P (3) = 4, bo 3 = 3 = 1 + 2 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1). Znaleźc wzór jawny P (n).

5. Fistach lubi pałować nierówności. Pewnego razu zastanowił si_{}e (co si_{}e Fistachowi czasem zdarza) jak w łatwy sposób sprawdzić, czy w miar_{}e dobrze wymnożył. Pomóż Fistachowi i powiedz, ile różnych wyrazów otrzyma wymnażaj _{}ac i redukuj _{}ac (a_{1} + a_{2} + …a_{k})^{n}? Np. dla k = 2, n = 2 otrzyma 3 różne wyrazy a_{1}^{2}, 2a_{1}a_{2}, a_{2}^{2}.

6. W podziemiach swego różowego domku Gosia tortutuje swoja tresowane różowe kameleony (których jest n). Usiadła z nimi w kółeczku i wzi_{}eła n + 1 PKdTRKG (Paczek Karmy dla Tresowanych Różowych Kameleonów Gerbera). Nast_{}epnie zacz_{}ela zabaw_{}e: w każdym ruchu Gosia wybiera coś różowego (czyli siebie lub kameleona) posiadaj _{}acego przynajmniej dwie PKdTRKG. Wybrany gracz daje po jednym PKdTRKG każemu z s _{}asiadów. Dla jakich n Gosia może rozdystrybować PKdTRKG tak, by każdy gracz miał po jednym? I dlaczego Gosia nosi takie fajne różowe butki?

7. Niech a_{1}, a_{2}, …a_{n} b_{}edzie niemalej _{}acym ci _{}agiem liczb naturalnych. Niech b_{i} b_{}edzie liczb _{}a wyrazów ci _{}agu a_{n} wi_{}ekszych b _{}adź równych i. Udowodnij, że: ∑ _{i=1}^{n} a_{i} = ∑ _{i=1}^{m} b_{i}, bior _{}ac pod uwag_{}e, że Redlik ma fajne spodnie.