Troch_{}e teorii liczb i kombinatoryki

1. Niech A = {1, 2, …, n} oraz f b_{}edzie dowoln _{}a funkcj _{}a A −→ A. Pokazać, że istnieje

takie k ∈ ℤ^{+} , że dla każdego x ∈ A: \underbrace{f(f(…(f(x) …))}_{2k} = \underbrace{f(f(…(f(x) …))}_{k}.

2. Obliczyć ∑ _{i,j,k∈ℤ} \binom{n}{i+j} \binom{n}{j+k} \binom{n}{k+i}.

3. Liczby rzeczywiste dodatnie x, y, z sumuj _{}a si_{}e do 1. Obliczyć minimaln _{}a wartość wyrażenia:

(1 + \frac{1}{x})(1 + \frac{1}{y})(1 + \frac{1}{z})

4. W trójk _{}acie ABC okr_{}eg wpisany jest styczny do boków BC, AC, AB odpowiednio w punktach K, L, M. Na odcinku LM obrano takie punkty D i E, że LD = DK oraz ME = EK. Pokazać, że DE = BC cos \frac{∠B+∠C}{2} .

5. Dla dowolnych m, n ∈ ℤ^{+} obliczyć:

∑_{i=0}^{n} ⌊\frac{im}{n}⌋ + ∑_{i=0}^{m} ⌊\frac{in}{m}⌋

6. Znaleźć liczb_{}e takich podzbiorów p-elementowych zbioru {1, 2, 3, …, 2p − 1, 2p} których suma elementów dzieli si_{}e przez p.

7. Udowodnić, że nie istniej _{}a dwie liczby całkowite dodatnie m < n, że \frac{1}{m} + \frac{1}{m+1} + … + \frac{1}{n} jest całkowite.

8. Pokazać, że jeśli liczby całkowite dodatnie spełniaj _{}a równość ab = cd to zachodzi:

\frac{NW D(a, c) · NW D(a, d)}{NW D(a, b, c, d)}= a