KÓŁECZKO Z KOLOROWANEK I NIEZMIENNIKÓW

1. Na każdym polu szachownicy 8 × 8 napisano liczb_{}e całkowit _{}a. Dozwolone s _{}a nast_{}epuj _{}ace operacje:

• wszystkie liczby zawarte w pewnym kwadracie 3 × 3 zwi_{}ekszamy o 1,

• wszystkie liczby zawarte w pewnym kwadracie 4 × 4 zwi_{}ekszamy o 1.

Czy niezależnie od tego, jakie były wyjściowe liczby możemy po wykonaniu pewnej ilości operacji otrzymać szachownic_{}e wypełnion _{}a wielokrotnościami trójki?

2. Mamy szachownic_{}e 8×8 z wyci_{}etymi dwoma rogami. Czy da si_{}e j _{}a pokryć płytkami 2×1 jeśli:

• wyci_{}ete rogi s _{}a s _{}asiednie,

• wyci_{}ete rogi s _{}a przeciwległe?

3. Czy można pokryć szachownic_{}e o wymiarach 13 × 13 płytkami o 4 × 1 w taki sposób, że tylko środkowe pole nie jest zakryte?

4. W szachownicy 19 × 19 wybieramy ściśle wewn _{}atrz kwadrat 16 × 16. Czy da si_{}e pokryć wewn_{}etrzny kwadrat rozl _{}acznymi prostok _{}atami 1 × 5 zawartymi w wi_{}ekszym kwadracie?

5. Mamy dany sześcian 100 × 100 × 100. Czy można wypełnić go klockami 1 × 1 × 51 i 1 × 1 × 53?

6. Dowieść że kwadratu o boku 9 nie można podzielić na prostok _{}aty o wymiarach 5 × 1 i 6 × 1.

7. Mamy 17 skarpetek żołtych, 15 skarpetek czerwonych i 13 niebieskich. Ruch polega na zmienieniu dwóch skarpetek różnych kolorów na par_{}e skarpetek w tym trzecim kolorze. Czy możemy osi _{}agn _{}ać wszystkie skarpetki w jednym kolorze?

8. W każdym wierzchołku 18-k _{}ata foremnego leży kamień. Ruch polega na przełożeniu dowolnych 2 kamieni na s _{}asiaduj _{}acy wierzchołek. Czy można uzyskać w ten sposób wszystkie kamienie w 1 wierzchołku?