KÓŁECZKO Z KOLOROWANEK, NIEZMIENNIKÓW I DIRICHLETA - 5.12.2007

1. Czy szachownic_{}e 43 × 43 z wyci_{}etym środkowym polem można przykryć klockami 6 × 1?

2. W trójk _{}acie równobocznym o boku 18 dane jest 666 punktów. Udowodnić, że pewne trzy z nich tworz _{}a trójk _{}at (być może zdegenerowany) o obwodzie co najwyżej 3.

3. Dany jest pi_{}eciok _{}at wypukły o wierzchołkach w punktach kratowych. Udowodnić, że istnieje co najmniej jeden punkt kratowy, który leży wewn _{}atrz lub na obwodzie pi_{}eciok _{}ata.

4. W każdym wierzchołku 18-k _{}ata foremnego leży kamień. Ruch polega na przełożeniu dowolnych 2 kamieni na s _{}asiaduj _{}acy wierzchołek. Czy można uzyskać w ten sposób wszystkie kamienie w 1 wierzchołku?

5. W szachownicy 19 × 19 wybieramy ściśle wewn _{}atrz kwadrat 16 × 16. Czy da si_{}e pokryć wewn_{}etrzny kwadrat rozl _{}acznymi prostok _{}atami 1 × 5 zawartymi w wi_{}ekszym kwadracie?

6. Dana jest szachownica 17 × 17 z umieszczon _{}a ściśle wewn _{}atrz szachownic _{}a 15 × 15. Udowodnić, że mniejszej szachownicy nie da si_{}e pokryć klockami 9 × 1 i 10 × 1 umieszczonymi na wi_{}ekszej szachownicy.

7. Mamy dany sześcian 100 × 100 × 100. Czy można wypełnić go klockami 1 × 1 × 51 i 1 × 1 × 53?