Kółko z Menelausa, Cevy

1. Na płaszczyźnie dany jest trójk _{}at ostrok _{}atny ABC. Punkty A′, B′, C′ s _{}a odbiciami A, B, C odpowiednio wzgl_{}edem C, A, B. Proste A′B, B′C oraz C′A oznaczmy odpowiednio k, l, m. Ich przeci_{}ecia ozanczmy: k z l jako Y, k z m jako X oraz l z m jako Z. Pokazać, że zachodzi:

[AB′Z] + [BC′X] + [CA′Y] = [ABC]

2. Dla trójk _{}ata XY Z na płaszczyźnie definiujemy operacj_{}e M jako obranie punktów X′, Y′, Z′ na bokach Y Z, XZ, XY odpowienio, tak by zachodziło:

\frac{XZ′}{Z′Y} = \frac{Y X′}{X′Z}= \frac{ZY′}{Y′X} = \frac{2}{3}

Przy czym proste XX′, Y Y′, ZZ′ odcinaj _{}a trójk _{}at KLM b_{}ed _{}acy wynikiem operacji M. a) Pokazać, że z odcinków XX′, Y Y′, ZZ′ da si_{}e zbudować trójk _{}at.

b) Pokazać, że trójk _{}at z punktu a) jest podobny do trójk _{}ata KLM. Znaleźć skal_{}e podobieństwa.

c) Operacj_{}e R odpalamy dla trójk _{}ata ABC uzyskuj _{}ac mały trójk _{}acik A′B′C′, nast_{}epnie dla tego trójk _{}acika uzyskuj _{}ac A′′B′′C′′ itd. post_{}epujemy w nieskończoność. Znaleźć iloczyn (przeci_{}ecie) wszystkich otrzymanych trójk _{}atów.

3. W trójk _{}acie ABC obrano tak punkty A′, B′, C′ na bokach BC, AC, AB odpowiednio, by proste AA′, BB′, CC′przecinały si_{}e w jednym punkcie. Znaleźć najmniejsz _{}a wartość wyrażenia:

\frac{AC′}{C′B} + \frac{BA′}{A′C} + \frac{CB′}{B′C}

4. W trapezie ABCD, w którym BC > AD, na dłuższej podstawie AB obrano taki punkt K by KB = CD. Nast_{}epnie przeprowadzono przez punkt B tak _{}a prost _{}a, by przecinała ona odcinki AD i KD w punktach odpowiednio E i F oraz by AE = KF. Na boku BC oznaczono taki punkt S, że BS = AD. Pokazać, że wówczas EC∥F S.

5. Punkty D i E leż _{}a odpowiednio na bokach BC i CA trójk _{}ata ABC, przy czym BD = AE. Odcinki AD i BE przecinaj _{}a si_{}e w punkcie P. Dwusieczna kata ACB przecina odcinki AD i BE odpowiednio w punktach Q i R. Wykazać, że

\frac{P Q}{AD} = \frac{P R}{BE}

.

6. Fredek, Paździoch, Walduś i Boczek poruszaj _{}a si_{}e każdy po swojej prostej ze stałymi pr_{}edkościami. W każdej sytuacji, gdy dwóch z nich si_{}e spotyka, wypijaj _{}a 2 napoje MF w króciutkim czasie i jad _{}a dalej. Wykazać, że niemoźliwa jest sytuacja, w której zostaje skonsumowanych dokładnie 10 napojów MF.