Kółko z podzielności symbolów Newtona i innych bzdetów

1. Dowieść, że istnieje takie n > 2003, że w ci _{}agu

\binom{n}{0} , \binom{n}{1} , …, \binom{n}{2003}

każdy wyraz jest dzielnikiem wszystkich wyrazów po nim nast_{}epuj _{}acych.

2. Dany jest taki n, że dla każdego k całkowitego dodatniego, mniejszego od n, zachodzi podzielność:

n|\binom{n}{k}

Pokazać, że n jest liczb _{}a pierwsz _{}a.

3. Dana jest liczba pierwsza p. Znaleźć wszystkie liczby naturalne n, że podzielność:

p|\binom{n}{k}

zachodzi dla każdego k z przedziału od 1 do n − 1.

4. Na płaszczyĽnie dany jest okr _{}ag Γ oraz punkt A. Rozważamy wszystkie okr_{}egi przechodz _{}ace przez A i przecinaj _{}ace okr _{}ag Γ w dwóch punktach leż _{}acych na końcach jego średnicy. Pokazać, że wszystkie rozważane okr_{}egi maj _{}a punkt wspólny różny od A.

5. Każdy punkt płaszczyzny pokolorowano na jeden z 2 kolorów. Pokazać, że istnieje trójk _{}at równoboczny o wierzchołkach tego samego koloru.

6. Na płaszczyźnie dany jest układ współrzednych. Każdy punkt kratowy pomalowano na jeden z 3 kolorów. Pokazać, że istnieje prostok _{}at o bokach równoległych do osi układu o wierzchołkach jednego koloru.

7. Pokazać, że teza poprzedniego zadania jest prawdziwa dla dowolnych k kolorów.