Kółko z Dirichleta

1. W trójk _{}acie równobocznym o boku 12 dane jest 300 punktów. Pokazać, że pewne trzy z nich tworz _{}a trójk _{}at (być może zdegenerowany) o obwodzie co najwyżej 3.

2. W kwadracie o boku 4 danych jest 17 punktów. Pokazać, że istniej _{}a wśród nich dwa odległe o co najwyżej \sqrt{2}.

3. Dane s _{}a ci _{}agi liczb (x_{1}, x_{2}, …, x_{7}) oraz (y_{1}, y_{2}, …, y_{7}), takie że dla każdego i zachodzi:

\{ \begin{matrix}x_{i} 0 \\ y_{i} 0 \\ x_{i} + y_{i} 1 \end{matrix}

Pokazać, że istniej _{}a indeksy k, l że zachodzi |x_{k} − x_{l}| + |y_{k} − y_{l}| \frac{1}{2}.

4. Dany jest pi_{}eciok _{}at ABCDE, którego wierzchołki umieszczone s _{}a w punktach kratowych. Pokazać, że we wn_{}etrznu lub na boku pi_{}eciok _{}ata istnieje jeszcze co najmniej jeden różny od wierzchołków punkt kratowy.

5. Pani M***** (zwana w niektórych kr_{}egach Fredkiem), jak zawsze przed lekcj _{}a polskiego, pragnie uszcz_{}eśliwić świat. Świat zaś jest sfer _{}a o promieniu 1, a pani M***** uszcześliwia go poprzez swe czaruj _{}ace spojrzenie z dowolnego punktu przestrzeni poza kul _{}a (widzi tylko t_{}e cz_{}eść sfery, która nie jest zasłaniana przez inn _{}a cz_{}eść sfery). Ile razy, co najmniej, pani M***** musi spojrzeć, aby uszcz_{}eśliwić wszystkich swych potencjalnych uczniów?

6. Ze zbioru liczb od 1 do 100 wybrano 26 liczb. Pokazać, że spośrod tych 26 da si_{}e wybrać niepusty podzbiór o iloczynie b_{}ed _{}acym kwadratem liczby całkowitej.

7. W Ksi_{}estwie Hofmańskim jest 6 pomników Gozera Wielkiego. Pomi_{}edzy każdymi dwoma istnieje bezpośrednie połaczenie obsługiwane przez dokładnie jednego z dwóch przewoźników. Pokazać, że istniej _{}a 3 pomniki, pomiedzy którymi poł _{}aczenia obsługuje ten sam przewoźnik.

8. Dzi_{}eki UE Ksi_{}estwo Hofmańskie dostało dotacje i zwi_{}ekszyło liczb_{}e pomników do 66 zaś liczb_{}e przewoźników do 4. Pokazać, że również w tym przypadku teza zadania 7 jest spełniona.