Zadanka na wielomiany

1. Wielomian Q(x) o współczynnikach całkowitych dla k kolejnych liczb całkowitych przyjmuje wartości podzielne przez k. Udowodnić, że dla dowolnego x całkowitego Q(x) jest podzielne przez k.

2. Dany jest ci _{}ag X 1001 liczb całkowitych x_{1}, x_{2}, …, x_{1001} o nast_{}epuj _{}acej własności: dla dowolnego wielomianu P (x) stopnia 2 o współczynnikach całkowitych istniej _{}a trzy elementy ci _{}agu X, mianowicie k, l, m, że P (k) = P (l) = P (m). Pokazać, że w ci _{}agu X istnieje co najmniej jedna trójka równych wyrazów.

3. Czy istnieje wielomian stopnia co najmniej 1 maj _{}acy wszystkie możliwe wartości b_{}ed _{}ace liczbami złożonymi?

4. Czy istnieje wielomian stopnia co najmniej 1 maj _{}acy wszystkie możliwe wartości nie b_{}ed _{}ace liczbami złożonymi?

5. Rozwi _{}azać układ równań w rzeczywistych a, b, c, d:

\{ \begin{matrix}a + b + c + d = 4 \\ ab + ac + ad + bc + bd + cd = −1 \\ abc + abd + acd + bcd = −16 \\ abcd = −12. \end{matrix}

6. Rozwi _{}azać układ równań w rzeczywistych a, b, c:

\{ \begin{matrix}a + b + c = 2 \\ a^{2} + b^{2} + c^{2} = 14 \\ a^{3} + b^{3} + c^{3} = 20. \end{matrix}

7. Wielomian P (x) stopnia n o współczynnikach rzeczywistych dla dowolnej liczby k ∈ {0, 1, …, n} spełnia równość:

P (k) = \frac{k}{k + 1}

Obliczyć P (n + 1).

7. Wielomian P (x) o współczynnikach całkowitych spełnia podzielności 5|P (2) i 2|P (5). Pokazać, że 10|P (7).

8. Niech P (x) b_{}edzie wielomianem o współczynnikach całkowitych. Udowodnić, że jeśli w conajmniej sześciu różnych liczbach całkowitych przyjmuje on wartość 12, to nie ma pierwiastków całkowitych.