Twierdzenia z wielomianów

TW. BEZOUT Niech P (x) i Q(x) b_{}ed _{}a wielomianami o współczynnikach rzeczywistych, takie, że deg(P) deg(Q). Wówczas istnieje dokładnie jedna para wielomianów W (x), V (x), że dla każdego x zachodzi:

P (x) = W (x) · Q(x) + V (x)

oraz deg(V) < deg(Q).

DODATEK.1. Jeśli wielomiany P (x) i Q(x) miały wspólczynniki całkowite, to wielomiany W (x) i V (x) również b_{}ed _{}a miały współczynniki całkowite.

DODATEK.2. W szczególności jeśli P (x) ma wspólczynniki całkowite zaś Q(x) = x − a to zachodzi:

P (x) = (x − a) · W (x) + P (a)

Zaś W (x) i P (a) to jedyna taka możliwa para.

WZORY VIETE’A Jeśli wielomian W (x) = a_{n}x^{n} + a_{n−1} x^{n−1} + … + a_{1}x + a_{0} ma n pierwiastków rzeczywistych p_{1}, p_{2}, …, p_{n} to zachodzi:

a_{n−1} = −\frac{p_{1} + p_{2} + … + p_{n}}{a_{n}}

a_{n−2} = \frac{p_{1}p_{2} + p_{1}p_{3} + … + p_{n−1} p_{n}}{a_{n}}

⋮

a_{0} = (−1)^{n} · \frac{p_{1}p_{2} …p_{n}}{a_{n}}

FAKCIK O PODZIELNOŚCI Dany jest wielomian W (x) maj _{}acy współczynniki całkowite. Wówczas dla każdego k naturalnego zachodzi:

n ≡ m ⇒ W (n) ≡ W (m)

Rozpatruj _{}ac to w podzielności przez k.